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aliases:
  - distingué
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up:: [[sous groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Définition
> Soit $G$ un groupe et $H < G$
> Si $\forall g \in G,\quad g H = H g$, on dit que **$H$ est distingué dans $G$**
> - ! Cela ne veut pas dire que $\forall h \in H,\quad gh = hg$
> 
> On note alors $H \trianglelefteq G$ ou $H \vartriangleleft G$ 
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ sous groupes distingués triviaux
> Soit $G$ un groupe
> Les sous groupes $\{ 1_{G} \}$ et $G$ sont distingués dans $G$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\forall g \in G,\quad g 1 g^{-1} = 1 \in \{ 1 \}$ donc $\{ 1 \} \trianglelefteq G$
> > - $\forall (gh) \in G,\quad \forall g \in G,\quad g h g ^{-1} \in G$ donc $G \trianglelefteq G$

![[centre d'un groupe#^distingue]]

![[groupe dérivé#^distingue]]

> [!proposition]+ Dans un abélien, tout sous groupe est distingué
> Soit $G$ un groupe.
> Si $G$ est [[groupe abélien|abélien]], alors tous ses sous-groupes sont distingués.
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Cela suit immédiatement du fait que $Z(G) \trianglelefteq G$ et que $G = Z(G)$ quand $G$ est abélien.
> 
> > [!démonstration]- Autrement
> > Soit $G$ abélien et $H < G$
> > $\forall h \in H,\quad \forall g \in G,\quad g h g^{-1} = gg^{-1} h = h \in H$ car $G$ est abélien
> > Donc $H \trianglelefteq G$

> [!proposition]+ Stabilité de la conjuguaison
> Dans un sous groupe distingué, les [[action par conjugaison]] sont stables.
> $\begin{align} H \trianglelefteq G &\iff \forall g \in G,\quad  g^{-1} H g \subseteq H \\&\iff \forall h \in H,\quad  \forall g \in G,\quad  g^{-1} h g \in H \end{align}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 

![[normalisateur d'une partie d'un groupe#^distingue]]

> [!proposition]+ 
> Soit $G$ un groupe et $H < G$
> Si $[G : H] = 2$ alors $H \trianglelefteq G$
> autrement dit :
> si $\# (G / H) = \frac{\#G}{\#H} = 2 \implies H \trianglelefteq G$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $g \in G$
> > - Si $g \in H$ alors $gH = H = Hg$ ([[théorème de cayley]] : $g \in H$ donc $h \mapsto gh$ est une bijection de $H \to H$)
> > - Si $g \notin H$
> > On a $1 \not \equiv g$ car $1^{-1}g = g \notin H$ donc $1H = H \neq gH$ ($1 \not \equiv g$ donc $1$ et $g$ sont dans des classes différentes)
> > Ainsi, $\{ H, gH \}$ est un sous ensemble de cardinal 2 de l'[[ensemble quotient]] $G / H$.
> > Par hypothèse, $\#(G/ H) = 2$, donc $G / H = \{H, gH \}$
> > Donc, $\boxed{G = H \sqcup gH}$
> > De même, $H \neq Hg$ et donc $H \backslash G = \{ H, Hg \}$
> > Donc, $\boxed{G = H \sqcup Hg}$
> > Les deux égalités encadrées donnent (puisque les réunions sont disjointes) :
> > $\boxed{gH = Hg}$
> > 
> > Ainsi, dans tous les cas on a $gH = Hg$, autrement dit $H \trianglelefteq G$
> > 

> [!proposition]+ Théorème de correspondance des sous Groupes
> Soit $G$ un groupe, et $H \trianglelefteq G$
> Soit $\pi : G \to G /H$ la projection canonique
> L'application :
> $\begin{align} \left\{ \text{sous  groupes (distingués) de G qui sont} \supseteq H \right\} &\to \{  \text{sous-groupes (distingués) de } G/H \} \\ K &\mapsto \pi(K)\end{align}$
> est une bijection croissante (pour l'inclusion), d'inverse $\pi ^{-1}(K) \mapsfrom K$
> - i $\pi$ est surjective, donc si $K \trianglelefteq G$ alors $\pi(K) \trianglelefteq G /H$
> 
> > [!example]- Exemple
> > Considérons les sous groupes de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
> > d'après le théorème, l'ensemble de ces sous-groupes est en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ qui sont $\supseteq 6\mathbb{Z}$. On sait que les sous groupes de $\mathbb{Z}$ sont de la forme $n\mathbb{Z}$ avec $n\geq 0$ et $n\mathbb{Z} \supseteq 6\mathbb{Z}$, donc $n|6$.
> > L'ensemble des sous groupes de $\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}$ est dont $\simeq \{  1, 2, 3, 6 \}$
> > Ces sous groupes sont donc :
> > - $\pi(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
> > - $\pi(2\mathbb{Z})= 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
> > - $\pi(3\mathbb{Z}) = 3\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
> > - $\pi(6\mathbb{Z}) = 6\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
> 

![[théorème de factorisation des morphismes#^theorem]]

![[théorème d'isomorphisme#^theoreme]]

# Exemples

> [!example] Exemple 1
> Le [[groupe alterné]] $\mathfrak{A}_{n}$ est distingué dans $\mathfrak{S}_{n}$ 
> En effet, $\forall \zeta \in \mathfrak{A}_{n},\quad \forall \sigma \in \mathfrak{S}_{n}$
> $\varepsilon(\sigma ^{-1} \zeta \sigma) = \cancel{\varepsilon(\sigma)^{-1}} \varepsilon(\zeta) \cancel{\varepsilon(\sigma)^{-1}} = \varepsilon(\zeta) = 1$
> Donc $\sigma ^{-1} \zeta \sigma \in \mathfrak{A}_{n}$
> 


> [!fail] Contre-exemple
> Tous les sous-groupes des $\mathfrak{S}_{n}$ ne sont pas distingués.
> Par exemple, pour $n \geq 3$, le sous-groupe $\left< (1, 2) \right>$ n'est pas distingué dans $\mathfrak{S}_{n}$.
> En effet : $(1, 3)(1, 2)(1, 3)^{-1} = (3, 2) \notin \left< (1, 2) \right>$


> [!example] Exemple 2
> Dans $G := GL_{2}(\mathbb{R})$
> $T := \left\{ \begin{pmatrix}\lambda&x\\0&\mu\end{pmatrix} \middle| \substack{\lambda, \mu \in \mathbb{R}^{*}\\ x \in \mathbb{R}} \right\}$
> $U := \left\{ \begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} \middle| x \in \mathbb{R} \right\}$
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