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aliases:
  - fermé
  - fermés
up: "[[espace métrique]]"
sibling: "[[partie ouverte d'un espace métrique]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[partie fermée d'un espace métrique]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Une partie $A \subset X$ est dite **fermée** si pour toute suite $(a_{n})$ d'éléments de $A$ qui converge vers $l \in X$, on a $l \in A$.
> Autrement dit, si toute suite d'éléments de $A$ convergente dans $X$ converge aussi dans $A$
> On dit alors que $A$ est un fermé de $X$.
> 
> - ! La fermeture de $A$ dépend de $X$ : changer $X$ peut changer la fermeture de $A$ (voir l'[[partie fermée d'un espace métrique#^exemple-espace-qui-change-la-fermeture|exemple]])
^definition

> [!idea] intuition
> Un fermé de $X$ est une partie qui contient son [[bord d'un ensemble|bord]]
> - ! Cela ne constitue pas une preuve

# Propriétés

> [!proposition] $\emptyset$ est un fermé
> L'ensemble vide est un fermé de tout espace métrique
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Il n'y a aucune suite à valeurs dans $\emptyset$, donc on a aucun contre-exemple.
> > Le "pour tout" est vrai si on a aucune valeur (ex: $\forall x \in \emptyset, \quad x^{2} = x$ est vrai).

> [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts
> Soit $A \subset X$ une partie de $X$
> $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Supposons $X \setminus A$ ouverte
> > Soit $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $A$ telle que $(x_{n})_{n}$ admet une limite $l \in X$
> > On cherche à montrer que $l \in A$
> > Par l'absurde, supposons que $l \notin A$
> > Comme $X \setminus A$ est ouvert et $l \in X \setminus A$, on a $\exists r >0, \quad B(l, r) \subset X\setminus A$
> > Or, $(x_{n})$ converge vers $l$.
> > Donc, si $\varepsilon = r$ dans la définition de la convergence :
> > $\exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(x_{n}, l) < r$
> > en particulier, $d(x_{N}, l) < r$, c'est-à-dire $x_{N} \in B(l, r) \subset X \setminus A$
> > Or, c'est absurde car $x_{N} \in A$
> > Notre supposition est donc fausse : on ne peut pas avoir $l \notin A$
> > On a donc bien $l \in A$.
> > On a donc montré que toute suite de $A^{\mathbb{N}}$ converge dans $A$, et donc que $A$ est fermée.
> > 
^complementaires-fermes-ouverts

> [!proposition] Proposition
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $\mathscr{F}$ l'ensemble des fermés de $X$
> On a :
> - $\emptyset \in \mathscr{F}$
> - $X \in \mathscr{F}$
> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathscr{F}, \quad \bigcap _{F \in \Omega} F \quad\text{est fermée}$
> - $\displaystyle \forall \Omega \subset \mathscr{F} \text{ finie}, \quad \bigcup _{F \in \Omega} F\quad\text{est fermée}$
>     - ! Une union infinie de fermés peut être ouverte. Par exemple : $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left[0; 1- \frac{1}{n}\right] = [0; 1[$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > La démonstration de fait à partir des [[partie ouverte d'un espace métrique#^union-intersection-ouverts|propriétés analogues sur les ouverts]], ainsi que les [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]]


> [!proposition]+ Fermé d'une partie
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $(Y, d) \subset (X, d)$
> Soit $A \subset Y$
> $A \text{ est un fermé de } Y \iff \exists F \in X \text{ fermé},\quad A = Y \cap F$
> ![[partie fermée d'un espace métrique 2024-12-29 16.08.27.excalidraw|600]]

# Exemples

> [!example] $]0; 1[ \subset \mathbb{R}$
> L'intervalle $A = ]0; 1[$ n'est pas fermé dans $\mathbb{R}$.
> Prenons par exemple la suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $x_{n} = \dfrac{1}{n+1}$
> On a bien $\forall n\in \mathbb{N}, \quad 0 < x_{n} \leq \frac{1}{2} < 1$ (car $x_0 = \frac{1}{2}$)
> Donc, $0 < x_{n} < 1$
> La suite $(x_{n})$ est bien à valeurs dans $]0; 1[$
> Mais $(x_{n})$ converge **dans $\mathbb{R}$** vers $0$, et $0 \notin ]0; 1[$
> On a donc un contre-exemple à l'axiome de fermeture, et on peut conclure que $A$ n'est pas fermé


> [!example] $B = [0; 1]$ est un fermé de $\mathbb{R}$
> Si $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments de $B$ :
> $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \in [0; 1]$
> ce qu'on peut réécrire sous la forme :
> $\forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 \leq u_{n} \leq 1$
> Et si, par ailleurs, $(u_{n})$ converge dans $\mathbb{R}$ vers $l \in \mathbb{R}$, on a, en passant à la limite $n \to +\infty$ :
> $0 \leq \lim\limits_{ n \to \infty } u_{n} \leq 1$
> c'est-à-dire $l \in [0; 1]$


> [!example] $]0; 1]$ dans $\mathbb{R}$ ou dans $\mathbb{R}^{+*}$
> $]0; 1]$ n'est pas un fermé de $\mathbb{R}$ (la suite $n \mapsto \frac{1}{n}$ converge dans $\mathbb{R}$ mais pas dans $]0; 1]$)
> Mais $]0; 1]$ est un fermé de $\mathbb{R}^{+*}$ (car $0 \notin \mathbb{R}^{+*}$) :
> En effet, si $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $]0; 1]$ qui converge dans $\mathbb{R}^{+*}$ vers $l\in \mathbb{R}^{+*}$, on a $l > 0$
> Comme $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \leq 1$, on a $l \leq 1$.
> On a donc $l \in ]0; 1]$, ce qui montre bien que $]0; 1]$ est un fermé de $\mathbb{R}^{+*}$
> - ! On voit ici l'importance de l'espace métrique de départ, qui peut changer la fermeture d'une partie
^exemple-espace-qui-change-la-fermeture