up:: [[norme]], [[structure d'algèbre|algèbre]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] norme d'algèbre
> Une norme $\|\|$ sur une $\mathbb{R}$-[[structure d'algèbre|algèbre]] $E$ est dite **norme d'algèbre** si :
> $\forall x, y \in E \quad \|x\cdot y\| \leq \|x\|\cdot \|y\|$
^definition

# Propriétés

# Exemples

> [!example] sur $\mathbb{R}^{n}$
> On peut munir $\mathbb{R}^{n}$ d'une structure d'algèbre en définissant $\times$ :
> $\forall x, y \in \mathbb{R}^{n},\quad x \times y = (x_1, x_2 , \dots ,x_{n}) \times (y_1, y_2, \dots, y_{n}) = (x_1y_1, x_2y_2, \dots, x_{n}y_{n})$
> le produit dimension par dimension.
> On peut alors vérifier que $\|\cdot\|_{\infty}$ la [[norme infini]] est une [[norme d'algèbre]] :
> On a pour $1 \leq k \leq n$ :
> $|x_{k}y_{k}| = |x_{k}| |y_{k}| \leq \|x_{k}\|_{\infty} \|y_{k}\|_{\infty}$ 
> Ainsi, en prenant le maximum, on obtient : 
> $\|x_{k}y_{k}\|_{\infty} \leq \|x_{k}\|_{\infty}\|y_{k}\|_{\infty}$