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aliases:
  - normalisateur
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up:: [[groupe]]
sibling:: [[centralisateur d'une partie d'un groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[normalisateur d'une partie d'un groupe]]
> Soit $G$ un [[groupe]] et soit $A \subseteq G$
> L'ensemble $N_{G}(A) := \{ g \in G \mid \underbrace{gA}_{\{ ga \mid a \in A \}}= \underbrace{Ag}_{\{ ag\mid a \in A \}} \}$
> s'appelle le **normalisateur** de $A$ dans $G$. C'est un [[sous groupe]] de $G$.
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Le normalisateur et sous groupe distingué
> Soit $G$ un groupe et $H < G$
> Soit $N_{G}(H)$ est le [[normalisateur d'une partie d'un groupe|normalisateur]] de $H$ dans $G$
> Alors $\boxed{H \trianglelefteq N_{G}(H)}$
> De plus, $N_{G}(H)$ est le plus grand sous groupe de $G$ dans lequel $H$ est distingué
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $N_{G}(H) = \{ g \in G \mid g H = Hg \}$
> > On sait que c'est un sous groupe de $G$.
> > - $\forall g \in N_{G}(H),\quad g^{-1} H g = g^{-1} g H = H \subseteq H$
> > donc $H \trianglelefteq N_{G}(H)$
> > - Soit $K < G$ tel que $H \trianglelefteq K$
> > On veut montrer que $K \subseteq N_{G}(H)$
> > On a $H \trianglelefteq K$ donc $\forall k \in K,\quad kH=Hk$
> > ainsi $\forall k \in K,\quad k \in N_{G}(H)$
> > et donc $K \subseteq N_{G}(H)$
^distingue

# Exemples