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aliases: 
up:
  - "[[morphisme]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soient $A$ et $B$ deux [[anneau|anneaux]]
> $f : A \to B$ est un **morphisme d'anneaux** si :
> - $\forall a, b \in A,\quad \begin{cases} f(a+b) = f(a) + f(b)\\ f(ab) = f(a)f(b) \end{cases}$
> - $f(1_{A}) = 1_{B}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ préservation des idéaux
> Soit $f: A \to B$ un morphisme d'anneaux
> $J$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $B \implies f^{-1}(J) \text{ idéal de } A$
> $I$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A \implies f(I) \text{ idéal de } B$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Supposons $J$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $B$
> > Alors $f^{-1}(J) < (A, +)$
> > Soient $i \in f^{-1}(J)$ et $a \in A$
> > $f(ai) = \underbrace{f(a)}_{\in B} \underbrace{f(i)}_{\in J}$
> > $ai \in f^{-1}(J)$
> > donc c'est un idéal 
> > 
> >  - Supposons $I$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> > $f(I) < B$
> > Soit $j \in f(I)$ 
> > $\exists i \in I,\quad j = f(i)$ 
> > $\vdots$
> 
> > [!corollaire]+ Le noyau est un idéal
> > Soit $f : A \to B$ un morphisme d'anneaux
> > Alors $\ker f$ le [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] de $f$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]]
> > 
> > > [!proposition]- Cas particulier sur $\mathbb{Z}$
> > > Soit $(A, +, \cdot)$ un [[anneau]]
> > > Soit $f : \mathbb{Z} \to A$ un morphisme donné par :
> > > $\begin{cases} f(1) = 1_{A} \\ f(n) = n \times 1_{A} \end{cases}$
> > > 
> > > > [!example] Exemple 1
> > > > $A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
> > > > $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ p &\mapsto \overline{p} \end{align}$
> > > > alors $\ker f = n\mathbb{Z}$ et donc $\mathrm{Car}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n$
> > >
> > > > [!example] Exemple 2
> > > > $A = \mathbb{R}$

> [!proposition]+ L'image est un sous anneau
> Soit $f : A \to B$ un morphisme d'anneaux
> $\operatorname{Im}f$ est un [[sous anneau]] de $B$


# Exemples