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  - "[[points critiques d'une fonction]]"
  - "[[fonction de plusieurs variables]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] matrice hessienne
> Soit une fonction $\begin{align} f :\;& \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\&(x_1, x_2, \dots ,x_{n}) \mapsto f(x_1,\dots,x_{n}) \end{align}$
> 
> Dont toutes les [[dérivée partielle|dérivées partielles]] secondes existent.
> La matrice hessienne de $f$, $H(f)$ est définie comme :
> 
> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }$
> 
> Donc :
> 
> $$ H(f) =
> \begin{pmatrix}
> \dfrac{ \partial f }{ \partial {x_1}^{2} }  & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_{n} }  \\
> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_1 }  & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_{n} }  \\
> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
> \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_1 }  & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_{n} }  \\
> \end{pmatrix}
> $$
> 
> Le [[déterminant hessien]] permet de déduire des propriétés sur la fonction (points critiques)
^definition

> [!definition] Définition par rapport au [[gradient d'une fonction|gradient]]
> Soit $\nabla f$ le [[gradient d'une fonction|gradient]] de $f$, on a :
> $H_i(f) = \dfrac{ \partial \nabla f }{ \partial x_{i} }$
> Soit :
> $\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \nabla f \right)_{j}$

# Propriétés
- [[déterminant hessien]]

> [!proposition]+ 
> Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ un ouvert
> Soit $f : \Omega \to F$ [[différentielle seconde|deux fois différentiable]] en $x \in \Omega$
> $\forall h, k \in \mathbb{R}^{n}$ on a :
> $\mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \,^T\!h \cdot \operatorname{Hess}f(x) \cdot k = \left\langle h, \operatorname{Hess}(f) \cdot k\right\rangle$
> Et d'après le [[théorème de schwarz]] on sait que $\operatorname{Hess}f$ est [[matrice symétrique|symétrique]], et donc que :
> $\mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \left< h \cdot \operatorname{Hess}(f), k \right>$