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  - "[[loi de probabilités discrète]]"
tags:
  - s/maths/probabilités
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> [!definition] Définition
> Une [[variable aléatoire réelle]] $X$ suit une **loi binomiale** de paramètres $n \in \mathbb{N}$, $p \in [0, 1]$ si :
> $\boxed{\mathbb{P}_{X}= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\delta _{k}}$
> On note alors $X \sim B(n, p)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition] Remarque
> On a bien :
> $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \left( \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \right)= (p + 1-p)^{n} = 1$

> [!proposition]+ 
> Soit $n \in N$, $p \in [0, 1]$
> Soient $X_1, \dots, X_{n}$ indépendantes et de même loi $B(p)$ ([[Loi de Bernoulli]])
> Si $X = \sum\limits_{i = 1}^{n}X_{i}$ (nombre de succès)
> Alors $X \sim B(n, p)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $k \in [\![0; 1]\!]$
> > $\begin{align}  \mathbb{P}(X = k) &= \mathbb{P}\left( \bigcup _{\substack{C = (C_1, \dots, C_{n}) \in \{ 0, 1 ^{n}\}\\ \text{avec } \sum\limits_{i = 1}^{n}C_{i} = k}} \{ X_1=C_1, \dots, X_{n}=C_{n} \} \right) \\&= \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 ^{n}\}\\ \sum\limits C = k}} \mathbb{P}(X_1=C_1, \dots, X_{n}=C_{n}) \\&= \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 \}^{n}\\\sum\limits C = k}} \left( \mathbb{P}(X_1 = C_1)\cdot \cdots \cdot\mathbb{P}(X_{n} = C_{n})\right) \\&= \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 \}^{n}\\ \sum\limits C = k}} p^k(1-p)^{n-k} \\&= p^k(1-p)^{n^k} \sum\limits_{\substack{C \in \{ 0, 1 \}^{n}\\ \sum\limits_{i=1}^{n}C_{i} = k}} 1 \\&= \binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k} \end{align}$
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# Exemples