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aliases:
  - isomorphisme de groupes
  - isomorphisme
up:
  - "[[morphisme de groupes]]"
  - "[[isomorphisme]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[isomorphisme de groupes]]
> Un _isomorphisme_ est un [[morphisme de groupes]] [[bijection|bijectif]].
^definition

- i S'il existe un isomorphisme entre les groupes $A$ et $B$, on dit qu'ils sont [[groupes isomorphes|isomorphes]], et on note $A \simeq B$
    - voir [[groupes isomorphes]]


# Propriétés

> [!proposition]+ réciproque
> Si $f : G \to H$ est un isomophisme
> alors $f^{-1} : H \to G$ est un isomophisme aussi
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On sait déjà que $f^{-1}$ est une bijection puisque $f$ en est une.
> > Il ne reste plus qu'a montrer que $f^{-1}$ est un morphisme. 
> > Soient $x, y \in H$, on veut montrer que :
> > $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$
> > Puisque $f$ est [[bijection|bijective]], on a :
> > $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y) \iff xy = f(f^{-1}(x)f^{-1}(y))$
> > Or, $f$ est un morphisme, donc $f(f^{-1}(x)f^{-1}(y)) = f(f^{-1}(x))f(f^{-1}(y)) = xy$
> > Donc, par équivalence, on a bien $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$, c'est-à-dire que $f^{-1}$ est bien un morphisme
> > Comme $f^{-1}$ est un morphisme et qu'il est bijectif, c'est bien un isomorphisme.
^isomorphisme-reciproque

# Exemple

Sur $(\mathbb{R},+)$, la fonction $\ln$ est un [[isomorphisme de groupes]]
$$\begin{align}
\ln :& (\mathbb{R}, +) \mapsto (\mathbb{R},\times)\\
     & x \mapsto \ln(x)
\end{align}$$
Et la réciproque de $\ln$, $\exp$ :
$$\begin{align}
\exp :& (\mathbb{R}, \times) \mapsto (\mathbb{R}, +)\\
     & x \mapsto e^x
\end{align}$$
Puisque $\ln$ et sa réciproque sont tous les deux des [[morphisme de groupes]].

- = $\exp$ est un isomorphisme de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{*}_{+}$ et aussi de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}^{*}$