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aliases:
  - intérieur
up: "[[espace métrique]]"
sibling: "[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]"
tags: "#s/maths/topologie"
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> [!definition] [[intérieur d'un espace métrique]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$ une partie quelconque de $X$
> Il existe un (unique) plus grand ouvert $\mathring{A}$ parmi tous les ouverts contenus dans $A$.
> On l'appelle **intérieur** de $A$
^definition

> [!definition]+ Autre définition
>$\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
> - I l'ensemble des points de $A$ qui ont un voisinage dans $A$
> 
>  ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]
> > [!démonstration]- Démonstration de l'équivalence
> > On procède par double inclusion.
> > Si $x \in \mathring{A}$, comme $\mathring{A}$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset \mathring{A}$ et, comme $\mathring{A} \subset A$, on a donc $B(x, r) \subset A$
> > D'où $\mathring{A} \subset \{  x \in A  \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
> > Montrons l'inclusion inverse.
> > Soit $x \in \{ \cdots \}$ on veut montrer que $x \in \mathring{A}$
> > on a $x \in B(x, r) \subset A$
> > en particulier, $B(x, r) \subset \mathring{A}$
> > donc $x \in \mathring{A}$
> > Ce qui montre $\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$

# Propriétés

> [!proposition]+ Existance et unicité
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$
> $\mathring{A}$ l'intérieur de $A$ existe et est unique.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\displaystyle\mathring{A} = \bigcup _{\substack{V \text{ ouvert}\\ V \subset A}}$
> > Donc $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
> > On peut toujours trouver un $V$ ouvert tel que $V \subset A$, car $A$ est un tel ouvert

> [!proposition]+ Lien avec l'[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
> Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
> - $\mathring{A} = \left( \overline{A^{\complement} }\right)^{\complement}$ autrement dit $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$ 
>     - $\mathring{A}$  est le complémentaire de l'intérieur de $X \setminus A$
> - $\overline{A} = {( \mathring{\overparen{A^{\complement}}} )}^{\complement}$ $\bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}$
> 
> C'est un [[principe du parapluie|parapluie]] : $\mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement$ (car le complémentaire est sson propr inverse)
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $U$ est ouvert avec $U \subset A$
> > $X \setminus U$ est un fermé, et $X \setminus A \subset X \setminus U$
> > en particulier, si $U = \mathring{A}$, alors $X \setminus \mathring{A}$ est un fermé qui contient $X \setminus A$ :
> > $X \setminus  \mathring{A} \supset \overline{X \setminus A}$
> > A l'inverse, $\overline{X \setminus A}$ est un fermé qui contient $X \setminus A$.
> > $X \setminus \overline{X \setminus A}$ est un ouvert contenu dans $A$.
> > Donc $X \setminus \overline{X \setminus A} \subset \mathring{A}$
> > On a donc bien $X \setminus \mathring{A} = \overline{X \setminus A}$
> > L'autre formule $X \setminus \overline{B} = \mathring{\overparen{X \setminus B}}$  s'en déduit, en prenant $B = X \setminus A$

> [!proposition]+ Lien avec l'[[partie ouverte d'un espace métrique|ouverture]]
> $A$ est ouvert $\iff$ $A = \mathring{A}$


# Exemples


> [!example] $\mathbb{Q}$ est d'intérieur vide dans $\mathbb{R}$
> Soit $x \in \mathbb{Q}$, on veut voir que $\forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$
> Prenons $x_{n}= x + \frac{\sqrt{ 2 }}{n}$
> Comme $x \in \mathbb{Q}$, on a $x_{n} \notin \mathbb{Q}$, mais $x_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} x$
> S'il existant $r>0,\quad B(x, r) \subset \mathbb{Q}$ on aurait, si $n$ assez grand, $x_{n} \in B(x, r)$, donc $x_{n} \in \mathbb{Q}$
> C'est absurde, donc $\forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$.
> Alors, on sait que $\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset$