up:: [[application réciproque]]
#s/maths/ensembles 

> [!definition] Définition
> Soit $f : E \to F$ une application
> Soit $A \subset F$ une partie de $F$
> On note $f^{-1}(A)$ et on appelle **image réciproque de $A$ par $f$** l'ensemble des valeurs de $E$ dont l'image par $f$ est dans $A$ :
> $\boxed{f^{-1}(A) := \{ x \in E \mid f(x) \in A \}}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition] morphismes sur $\cap$ et $\cup$
> Soit $f : E \to F$
> Soient $(A, A') \in E^{2}$ et $(B, B') \in F^{2}$
> On a :
> - $f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')$
> - $f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$
> - $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$
> - ! $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$
> 
> Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :
> - $\displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)$