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aliases:
  - idéaux
  - idéal
up:
  - "[[anneau]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> $I \subset A$ est un **idéal de $A$** si :
> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad \begin{cases} a\cdot i \in I\\ i \cdot a \in I \end{cases}$
^definition

> [!definition] Définition - idéal à gauche
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> $I \subset A$ est un **idéal à droite de $A$** si :
> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad a \cdot i \in I$
^definition-a-gauche

> [!definition] Définition - idéal à droite
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> $I \subset A$ est un **idéal à droite de $A$** si :
> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad i \cdot a \in I$
^definition-a-droite

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $I$ idéal d'un anneau $A$
> Supposons qu'il existe $p \in I$ tel que $p$ est inversible dans $A$
> alors $I = A$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $I$ idéal de $A$
> > Soit $p \in I$ inversible dans $A$
> > Alors :
> > $\forall a \in A$
> > $a = \underbracket{a p ^{-1}}_{\in A} \underbracket{p}_{ \in I}$
> > or $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] donc $a \in I$
> > Ainsi $I \subset A$, or on a $A \subset I$ par définition, donc :
> > $I = A$

> [!proposition]+ union et somme d'idéaux
> Soient $I$ et $J$ des idéaux d'un [[anneau]] $A$
> Alors :
>  - $I \cap J$ est un idéal de $A$
>  - $I + J$ est un idéal de $A$
>  - ! $A \cup J$ **n'est pas** un idéal de $A$

![[corps#^ideaux-dun-corps]]

# Exemples