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aliases:
  - engendré
up:
  - "[[idéaux d'un anneau|idéal]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Dans un anneau $(A, +, \cdot)$
> Soit $X \subset A$
> L'idéal $(X)$ **engendré par $X$** est défini par :
> $\displaystyle (X) = \bigcap_{\substack{I \text{ idéal}\\ X \subset I}} I$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un anneau et $X \subset A$
> $X = 0 \implies (X) = \{ 0 \}$

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un anneau
> Soit $X \subset A$ avec $X \neq \emptyset$
> alors :
> $\displaystyle (X) = \left\{ \sum\limits_{l = 1}^{n}(a_{l} i_{l}) \middle| \begin{array}{l} m \in \mathbb{N}^{*}\\ a_{l} \in A\\ i_{l} \in X \end{array} \right\}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Posons $\displaystyle J = \left\{ \sum\limits_{l = 1}^{n}(a_{l} i_{l}) \middle| \begin{array}{l} m \in \mathbb{N}^{*}\\ a_{l} \in A\\ i_{l} \in X \end{array} \right\}$
> > 
> > - $J \subset (X)$ est évident
> > - on vérifie que $J$ est un idéal qui contient $X$
> > ainsi :
> > $\displaystyle X = \bigcap _{\substack{I \text{ idéal}\\ X \subset I}} (I) \subset J$
> > donc $X \subset J$
> > 
> > Ainsi, par double inclusion on a :
> > $X = J$
> 
> > [!corollaire]+ Idéaux engendrés par des ensembles finis
> > Soit $A$ un [[anneau]]
> > Soit $X = \{ a_1, a_2, \dots, a_{k} \} \subset A$ avec $k \in \mathbb{N}^{*}$
> > Alors :
> > $(X) = a_1A + a_2A + \cdots + a_{k}A$

# Exemples