up:: [[isomorphisme de groupes|isomorphisme]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Définition
> Soient deux groupes $A$ et $B$
> La relation "il existe un [[isomorphisme]] entre $A$ et $B$" est notée $A \simeq B$, et est une [[relation d'équivalence]].
> Si $A \simeq B$, on dit que "$A$ est isomorphe à $B$"
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Invariants par isomorphisme
> Soient $A$ et $B$ deux groupes avec $A \simeq B$ ($A$ est isomorphe à $B$) et si $f: A \to B$ est un isomorphisme
> On a les propriétés suivantes :
> - $A$ est [[commutativité|commutatif]] $\iff$ $B$ est [[commutativité|commutatif]]
> - $A$ est [[groupe monogène|monogène]] $\iff$ $B$ est [[groupe monogène|monogène]]
> - $Z(A) \simeq Z(B)$ (les [[centre d'un groupe|centres]] de $A$ et $B$ sont isomorphes)
> - $(\#A = n) \implies (\#B = n)$
> - $\forall x \in A,\quad o(x) = o(f(x))$ (l'[[ordre d'un élément d'un groupe|ordre d'un élément]] est invariant)
> - le nombre d'éléments d'ordre $n$ dans $A$ est égal au nombre d'éléments d'ordre $n$ dans $B$
>     - formellement : $\forall n \in \mathbb{N},\quad \#\{ x \in A \mid o(x) = n \} = \#\{ y \in B \mid o(y) = n \}$

# Exemples

> [!example] Contre-exemple
> Les groupes $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}$ sont tous les deux [[groupe abélien|abéliens]] de cardinal 4, mais ne sont pas isomorphes.
> En effet, le premier possède un élément d'ordre 4, mais tous les éléments du second sont d'ordre au plus 2.