up:: [[matrices modulaires|matrice modulaire]]
sibling:: [[groupe linéaire des matrices inversibles]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[groupe linéaire des matrices modulaires]]
> Soit $p$ un [[nombre premier]]
> On définit
> $GL_{n}(p) := \{ M \in \mathcal{M}_{n}(p) \mid \det M \neq \overline{0} \in \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \}$
^definition

# Propriétés

> [!info] $(GL_{n}(p), \times)$ est un [[groupe]] fini pour $p$ premier
> Soit $p$ un [[nombre premier]]
> Soit $(GL_{n}(p), \times)$ l'ensemble des matrices modulaires de taille $n$ sur $\mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ muni de la [[multiplication de matrices]]
> alors $(GL_{n}(p), \times)$ est un groupe fini
> [[démonstration l'ensemble des matrices modulaires est un groupe fini avec la multiplication de matrices|démonstration]]

- [x] #task raccourci pour $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ ✅ 2024-09-18
# Exemples
- une matrice triangulaire avec des $\overline{1}$ sur la diagonales est dans $GL_{n}(\overline{1})$