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aliases:
  - Z/nZ
up: "[[groupe]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] groupe des classes d'équivalence modulo $n$
> $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, +)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Ordre des éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
> Soit $k \in \mathbb{Z}$
> L'[[ordre d'un élément d'un groupe|ordre]] de $\overline{k}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est :
> $\displaystyle o(\overline{k}) = \frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Si $k = 0$ alors $o(\overline{k}) = 1$ et $\operatorname{pgcd}(n, k) = n$ donc l'égalité est vraie.
> > - Si $k \neq 0$ alors $o(\overline{k})$ est le plus petit entier qui vérifie $o(\overline{k}) \cdot k = \overline{o(\overline{k}) \cdot k} = \overline{0}$, ou autrement le plus petit entier qui vérifie $n | o(\overline{k})\cdot k$.
> > On a donc $k\cdot o(\overline{k}) = \operatorname{ppcm}(n, k)$. De là suit que :
> > $\begin{align} o(\overline{k}) &= \frac{\operatorname{ppcm}(n,k)}{k} \\&= \frac{\operatorname{ppcm}(n, k) \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)}{k \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)} \\&= \frac{n\cdot k}{k \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)} \\&= \frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)} \end{align}$