up:: [[propriété vraie presque partout]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] Définition
> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Soient $f$ et $g$ des applications définies sur $E$
> $f$ et $g$ sont **égales $\mu$ presque partout** si $\{ f(x) \neq g(x) \mid x \in E \}$ est négligeable
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ comparaisons presque partout et intégrales
> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables positives
> - Si $f\leq g$  $\mu$-presque partout, alors $\displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g \, d\mu$
> - Si $f = g$  $\mu$-presque partout, alors $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \int_{E} g \, d\mu$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $f = f\mathbb{1}_{\{ f \leq g \}} + \underbrace{f\mathbb{1}_{\{ f > g \}}}_{\substack{\text{négligeable car }\\ \mu(\{ f > g \}) = 0}}$
> > De là suit que :
> > $\displaystyle \int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} g\mathbb{1}_{f \leq g} \, d\mu + \underbrace{\int_{E} g \mathbb{1} _{\{ f > g \}}\, d\mu}_{=0}$
> > 

> [!proposition]+ intégrabilité
> Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables à valeurs dans $\mathbb{C}$
> Si on a $f = g$  $\mu$-presque partout, alors
> $f \text{ est intégrable} \iff g \text{ est intégrable}$

# Exemples