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alias: ["th", "tangente hyperbolique"]
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up::[[trigonométrie]], [[fonctions particulières]]
properties::[[fonction impaire|impaire]], [[bijection|bijective]]
derivative::$\dfrac{1}{\mathrm{ch}^{2}(x)}$
description::"$\mathbb{R} \to [-1; 1]$", "$x \mapsto \dfrac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)} = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$"
title::$\mathrm{th}$
#s/maths/trigonométrie #s/maths/analyse

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La *tangente hyperbolique* est la [[fonction]] suivante :

$\begin{align*} \mathrm{th} : & \mathbb{R} \to [-1; 1]\\ & x \mapsto \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \end{align*}$

ou bien, sous une autre forme :
$\displaystyle\mathrm{th}(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$

$\sin x + \cos x - \arccos \arg \mathrm{th} $

```desmos-graph
    top=2.5
left=-5; right=5
    bottom=-2.5
width=400; height=200
---
y = \tanh(x)
```


# Propriétés

 - $\mathrm{th}$ est une [[fonction impaire]]
 - dérivée : $\mathrm{th}'=\frac{1}{\mathrm{ch}^{2}}$
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