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  - "[[nombre premier]]"
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  - fonction π
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> [!definition] [[fonction pi|fonction π]]
> La fonction $\pi$ est la fonction qui à un entier $n$ associe le $(n+1)^{\text{ème}}$ [[nombre premier]]
> $\begin{array}{rcl} \pi(0) &=& 2\\ \pi(1) &=& 3\\ \pi(2) &=& 5\\ \pi(3) &=& 7 \\&\vdots& \end{array}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ la fonction $\pi$ est [[fonction récursive primitive|récursive primitive]]
> La fonction $\pi$ est [[fonction récursive primitive|récursive primitive]]
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On peut définir $\pi$ par récurrence et par [[schéma mu borné|schéma µ borné]] comme suit :
> > $\pi(0) = 2$
> > $\pi(n+1) = \mu p \leq (n+1)! \quad \left(\mathrm{sg}(p \dot{-}\pi( n)) \cdot \left( 1\dot{-} \mathrm{sg} \left( \sum\limits_{d=1}^{d=p}d|p \right)  \right) \right)$
^recursive-primitive
# Exemples