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aliases:
  - différentiable
up:
  - "[[calcul différentiel]]"
tags:
  - s/maths/analyse
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> [!definition] Définition
> [!definition] Définition
> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
> Soit $\Omega$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $E$
> Soit $x \in \Omega$
> Soit $f : \Omega \to F$
> On dit que $f$ est **différentiable** en $x$ s'il existe une [[application linéaire]] 
> $L_{x} : E \to F$
> telle que 
> $f(x + h) = f(x) + L_{x}(h) + \underset{h \to 0}{o}(h)$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
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depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ les fonctions différentiables sont continues
> Si $f : \Omega \to F$ est différentiable en $x \in \Omega$, alors $f$ est continue en $x$.
> - ! cela ne fonctionne qu'en dimention finie
>   
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $f(x+h) = f(x) + \underbrace{df(x)(h)}_{\xrightarrow{h \to 0}0} + \underbrace{o(h)}_{\xrightarrow{h \to 0} 0} \xrightarrow{h \to 0} f(x)$
> > $L(h) \xrightarrow{h \to 0} 0$ car $L$ est linéaire, et en dimension finie, toutes les [[application linéaire|applications linéaires]] sont continues

> [!proposition]+ 
> Si $f : \Omega \to F$ est différentiable en $x \in \Omega$
> alors elle admet des dérivées directionnelles en $x$ dans toutes les directions $v \in E$, et on a :
> $D_{v}f(x) = \mathrm{d}f(x)(v)$
>  - ! la réciproque est fausse
>    
> > [!example]- Contre-exemple de la réciproque
> > Soit la fonction :
> >  $\begin{align} f : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R}\\ (x_1, x_2) &\mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x_2 = x_1{}^{2} \text{ et } x_1 \neq 0 \\ 0 \text{ }  \end{cases} \end{align}$
> >  ![[fonction différentiable 2025-01-20 14.30.57.excalidraw]]
> >  Cette fonction admet des dérivées directionnelles (nulles) en $x = 0$, mais n'est pas différentiable en $x = 0$ (en fait, elle n'est même pas continue en $x = 0$)

> [!proposition]+ équivalence entre différentiabilité et continuité des dérivées partieles
> Soit $f : \mathbb{R}^{n} \to F$
> On a équivalence entre les propositions suivante :
>  - $f$ est de [[classe d'une fonction|classe]] $\mathcal{C}^{1}$
>  - en tout $x \in \Omega$, $f$ admet des [[dérivée partielle|dérivées partielles]], et celles-ci sont continues
> autrement dit :
> $f \in \mathcal{C}^{1} \iff \forall i \in \{ 1, \dots, n \},\quad \begin{align} \Omega & \to F \\ x &\mapsto \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x) \end{align} \text{ est continue}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > preuve dans le cas $n = 2$ (le cas général se traite par récurrence)
> > On veut montrer que $\forall x \in \Omega, f \text{ est différentiable en } x$ et que $\displaystyle\mathrm{d}f(x) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)\mathrm{d}x_{i}$ (la continuité de $x \mapsto \mathrm{d}f(x)$ découlera alors immédiatement de la continuité de $x \mapsto \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)$)
> > 
> > ![[fonction différentiable 2025-01-27 15.09.17.excalidraw|300]]
> > 
> > On écrit :
> > $\begin{align} f(x+h) - f(x) - \sum\limits_{i = 1}^{2} \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)h_{i} &= f(x_1+h_1, x_2+h_2) - f(x_1, x_2) - h_1\frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x_1, x_2) - h_2\frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2) \\&= \underbrace{f(x_1+h_1, x_2) - f(x_1, x_2) - h_1\frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x_1, x_2)}_{I_1} + \underbrace{f(x_1+h_1, x_2+h_2) -f(x_1+h_1, x_2) - h_2\frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)}_{I_2} \end{align}$
> > 
> > $I_1 = \mathop{o}\limits_{h_1 \to 0}(h_1) = \mathop{o}\limits_{h \to 0}(h)$
> > 
> > Pour le terme $I_2$, on définit $g : t \mapsto f(x_1+h_1, t) - (t-x_2)\frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)$ qui est de classe $\mathcal{C}^{1}$ au voisinage de $x_2$, et de différentielle :
> > $\mathrm{d}g(t)(k) = k\left( \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1+h_1, t) - \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2) \right)$
> > L'[[inégalité des accroissements finis]] appliquée à $g$ nous donne :
> > $\|g(x_2+h_2) - g(x_2)\|_{F} \leq \sup\limits_{s \in [0, 1]} \|\mathrm{d}g(sx_2 + (1-s)(x_2+h_2))\|_{\mathscr{L}(E, F)} |h_2|$
> > et donc :
> > $\|f(x_1+h_1, x_2+h_2) - f(x_1+h_1) - h_2 \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)\|_{F} \leq \sup\limits_{s \in [0, 1]} \| \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1+h_1, sx_2 + (1-s)(x_2 + h_2)) - \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)\\midh_2$
> > De là on déduit que $I_2 = 0$
> > 
> > Donc, $I_1 + I_2 = \mathop{o}\limits_{h \to 0}(h)$

> [!proposition]+ Une fonction de différentielle nulle sur un connexe est constante
> Soit $\Omega$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] [[espace métrique connexe|connexe]] de $E$
> Si $f : \Omega \to F$ est différentiable en tout point et si $\forall x \in \Omega ,\quad \mathrm{d}f(x) = 0$
> alors $f$ est constante
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $x \in \Omega$
> > Don définit $U = \{ y \in \Omega \mid f(y) = f(x) \}$
> > et on veut montrer que $U = \Omega$
> > - Clairement, $U$ est un ensemble [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] (si $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in U^{\mathbb{N}}$ vérifie $y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y$ alors $\forall n \in \mathbb{N},\quad f(y_{n}) = f(x)$ et en passant à la limite $n \to \infty$ on a par continuité de $f$  - qui est différentiable sur $\Omega$ - que $f(y) = f(x)$ c'est-à-dire $y \in U$)
> > 
> > - On va maintenant montrer que $U$ est [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] grâce à l'[[inégalité des accroissements finis]].
> >   Soit $y \in U$ comme $y \in \Omega$ ouvert, il existe $r \geq 0$ tel que $B(y, r) \subset \Omega$
> >   Soit $z \in B(y, r)$
> >   Comme $B(y, r)$ est convexe, le segment $[y, z] \subset B(y, r) \subset \Omega$
> >   et l'[[inégalité des accroissements finis]] assure que :
> >   $\|f(y) -f(z)\|_{F} \leq \underbrace{\sup\limits_{t \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(ty + (1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)}}_{=0 \text{  car } \mathrm{d}f(x) = 0,\quad\forall x \in \Omega} \|y-z\|$
> >   donc $\|f(y)-f(z)\|_{F} = 0$ c'est-à-dire $f(y) = f(z)$ et donc $f(z) = f(x)$
> >   On en déduit que $z \in U$ et donc $B(y, r) \subset U$ et donc que $U$ est [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]]
> >
> > Finalement, $U$ est ouvert et fermé dans $\Omega$ qui est [[espace métrique connexe|connexe]], d'où suit que $U = \Omega$ (comme $x \in U$, on sait que $U \neq \emptyset$).
> > De là, par la définition de $U$, on sait que $f$ est constante sur $\Omega$.
> > 

# Exemples