date::2022-08-24 #t/exercice #s/maths/algèbre ---- # [[sous espace vectoriel|sev]] de $\mathbb{R}$ munis de $\times$ On munit $\mathbb{R}^{n}$ des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants $F$ de $\mathbb{R}^{n}$, lesquels sont des [[sous espace vectoriel|sev]] ? ## 1) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = 0\}$ $F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul. Soient $u = (x_{1},\ldots,x_{n}) \in F$ et $u' = (x'_{1},\ldots,x'_{n}) \in F$ $x_{1} = 0$ et $x'_{1} = 0$ Donc : $u \times u' = (x_{1}\times x'_{1},\ldots,x_{n}\times x'_{n})$ Or, on sait que $x_{1} \times x'_{1} = 0$ Donc $u \times u' \in F$ $\square$ ## 2) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = 1\}$ $F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur unité. Soient $u \in F$ et $u' \in F$ avec $u=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u'=(x_{1},\ldots, x_{n})$ $u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$ Or, $x_{1} = x'_{1} = 1$ donc $x_{1} \times x'_{1} = 1$ Donc $u \times u' \in F$ $F$ est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$ $\square$ ## 3) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = x_{2}\}$ $F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul. Soient $u \in F$ et $u' \in F$ avec $u=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u'=(x_{1},\ldots, x_{n})$ $u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$ Puisque $x_{1}=x_{2}$ et $x'_{1} = x'_{2}$, alors $x_{1} \times x'_{1} = x_{2} \times x'_{2}$ Donc $u \times u' \in F$ $F$ est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$ $\square$ ## 4) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1}+\cdots + x_{n} = 0\}$ $F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul. Soient $u \in F$ et $u' \in F$ avec $u=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u'=(x_{1},\ldots, x_{n})$ $u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$ Or, $x_{1}+\cdots+x_{n} = 0$ et $x'_{1}+\cdots +x'_{n} = 0$ n'implique pas que $x_{1}\times x'_{1}+\cdots+x_{n}\times x'_{n} = 0$ **Contre-exemple :** - $-1 + (-2) + 3 = 0$ - $5 + (-2) + (-3) = 0$ - pourtant $(-5) + 4 + (-9) \neq 0$ Donc, $F$ n'est pas toujours un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$ ## 5) $F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} \times x_{2} = 0\}$ $F \neq \emptyset$ car $F$ contient le vecteur nul. Soient $u \in F$ et $u' \in F$ tels que $u = (x_{1},\ldots,x_{n})$ et $u' = (x'_{1},\ldots, x'_{n})$ $u \times u' = (x_{1}\times x'_{1}, x_{2}\times x'_{2}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})$ On sait que $x_{1} \times x_{2} = 0$ et $x'_{1}\times x'_{2} = 0$ **On suppose que $x_{1} \times x'_{1} \neq 0$** - c'est possible si $x_{1} \neq 0$ et $x'_{1} \neq 0$ - alors $x_{2} = 0$ et $x'_{2} = 0$ - Donc $(x_{1}\times x'_{1}) \times (x_{2}\times x'_{2}) = 0$ et $u \times u' \in F$ **On suppose que $x_{2}\times x'_{2} \neq 0$ - même raisonnement que dans le cas précédent **On suppose que $x_{1}\times x'_{1} = 0$ et $x_{2}\times x'_{2} = 0$** - alors on à bien $u \times u'\in F$ **On suppose que $x_{1}\times x'_{1} \neq 0$ et $x_{2} \times x'_{2} \neq 0$** - impossible car dans ce cas, on ne peu pas avoir $x_{1} \times x_{2} = 0$ On à bien tous les cas, donc pour tout $(u, u') \in F^{2}$, on à bien $u \times u' \in F$ $(F, \times)$ est donc bien un [[sous espace vectoriel|sev]] de $(\mathbb{R}^{n}, \times)$ # Exercice 975 Soit $F$ le [[sous espace vectoriel|sev]] de $\mathbb{R}^{4}$ engendré par $u = (1,2,-5,3)$ et $v = (2,-1,4,7)$. Déterminer $\lambda$ et $\mu$ réels tels que $(\lambda, \mu, -37, -3) \in F$ Pour appartenir à $F$, un vecteur doit être une combinaison linéaire de $u$ et $v$, c'est-à-dire s'écrire comme : $\alpha u + \beta v$ Donc, on doit avoir $-5 \alpha + 4 \beta = -37$ et $3 \alpha + 7 \beta = -3$ On utilise la méthode de résulution par déterminant (voir [[système linéaire à deux inconnues]]) $$\begin{align*} \left\{ \begin{gathered} -5 \alpha + 4 \beta = -37\\ 3 \alpha + 7 \beta = -3 \end{gathered} \right. &\iff \left\{ \begin{gathered} \alpha = \frac{1}{\small\begin{vmatrix}-5&4\\3&7\end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -37&4\\-3&7 \end{vmatrix}\\ \beta = \frac{1}{\small\begin{vmatrix}-5&4\\3&7\end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -5&-37\\3&-3 \end{vmatrix} \end{gathered} \right.\\ &\iff \left\{ \begin{gathered} \alpha = \frac{247}{47}\\ \beta = - \frac{126}{47} \end{gathered} \right. \end{align*}$$ Alors, on sait que $\lambda = \alpha + 2\beta = - \frac{5}{47}$ et que $\mu = 2\alpha - \beta = \frac{368}{47}$ Donc : $\left\{ \begin{gathered} \lambda = - \frac{5}{47} \\ \text{et} \\ \mu = \frac{368}{47} \end{gathered} \right.$ # Exercice 976 Montrer que $a = (1, 2, 3)$ et $b = (2,-1,1)$ engendrent le même [[sous espace vectoriel|sev]] de $\mathbb{R}^{3}$ que $c=(1,0,1)$ et $d=(0,1,1)$ $(c; d)$ est une [[famille de vecteurs libre]] car $c$ et $d$ ne sont pas [[vecteurs colinéaires|colinéaires]], leur [[sous espace vectoriel|sev]] engendré est donc de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2. De même pour $(a;b)$. Or, $a = c + 2d$ et $b = 2c - d$ Donc, puisque $(a;b)$ est [[famille de vecteurs libre|libre]] et engendre un [[sous espace vectoriel|sev]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2, on peut dire qu'elle génère le même [[sous espace vectoriel|sev]] que $(c;d)$ car $(a;b)$ est contenue dans le [[sous espace vectoriel|sev]] généré par $(c;d)$ - $(a;b)$ est [[famille de vecteurs libre|libre]] - $a$ et $b$ ne sont pas [[vecteurs colinéaires|colinéaires]] - donc $(a;b)$ engendre un [[sous espace vectoriel|sev]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2 - $(a;b) \subset \text{Vect}(a;b)$