up::[[MOC ensembles]] 
#s/maths/ensembles 

> [!definition] Ensemble des parties d'un ensemble
> Soit $E$ un ensemble 
> On note $\mathscr{P}(E)$ **l'ensemble des parties de $E$**
> défini comme l'ensemble des sous-ensembles de $E$ :
> $\mathscr{P}(E) := \{ F \mid F \subset E \}$
^definition

# Propriétés

 - quelque soit $E$, on a $\emptyset \subset E$. Donc $\emptyset$ toujours dans $\mathscr{P}(E)$, quelque soit $E$ 
     - il ne faut pas oublier que l'ensemble vide est aussi une partie
 - $\text{card}(\mathscr{P}(E)) = 2^{\text{card(E)}}$ (ou bien $|\mathscr{P}(E)| = 2^{|E|}$)
     - [[cardinal d'un ensemble]] 
 - Un ensemble n'est jamais en [[bijection]] avec l'ensemble de ses parties
     - $\nexists E, \quad |E| = |\mathscr{P}(E)|$