up::[[arithmétique]]
#s/maths/arithmétique

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> [!definition] Division euclidienne
> Soient $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$, il existe des entiers $(q,r)\in\mathbb{Z}$ tels que $\fbox{a = bq+r}$ avec $0\leq r\leq b$ 
> On montre que le couple $(q, r)$ est [[division euclidienne#Unicité du quotient et du reste|unique]].
> On appelle $q$ le **quotient**, et $r$ le **reste**, de la division de $a$ par $b$

# Propriétés
 - $b$ [[divisibilité|divise]] $a$ ssi. le reste de $a$ divisé par $b$ est nul ($r=0$)
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# Démonstrations

## Unicité du quotient et du reste
On utilise une [[démonstration par l'absurde]].
Soit $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$
On suppose qu'il existe $q, r$ et $q', r'$ deux quotients et restes tels que :
 - $(q, q')\in\mathbb{Z}^2$
 - $(r, r')\in\mathbb{N}^2$
 - $r \in [\![ 0; b[\![$ et $r'\in[\![0; b'[\![$