up:: [[produit direct de groupes]]
#s/maths/algèbre 

Soient $(G, *_{G})$ et $(H, *_{H})$ deux groupes.
On veut montrer que le produit $(G \times H, *)$ est bien un groupe pour la loi $*$ définie comme $(g, h)*(g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h')$

# 1. La loi $*$ est bien une [[loi de composition interne|lci]]
Quels que soient $(g, h), (g', h') \in G\times H$ 
$(g, h)*(g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h') \in G \times H$
car $g*_{G}g' \in G$ en tant que $*_{G}$ est une lci, et car $h*_{H}h' \in H$ en tant que $*_{H}$ est une lci.

# 2. la loi $*$ est [[associativité|associative]]
On a 
$$
\begin{align}
\left[ (g, h)*(g', h') \right] * (g'', h'') &= (g*_{G}g', h*_{H}h') * (g'', h'') \\
&= (g*_{G}g'*_{G}g'', h*_{H}h'*_{H}h'') \\
&= (g, h) * \left[ (g', h') * (g'', h'') \right] & \text{par associativité de } *_{G} \text{ et } *_{H}
\end{align}
$$
Donc $*$ est bien associative

# 3. On a bien un élément neutre

Le neutre est bien $e_{G\times H} = (e_{G}, e_{H})$
$(g, h) * e_{G\times H} = (g, h)*(e_{G}, e_{H}) = (g*_{G}e_{G}, h*_{H}e_{H}) = (g, h) = (e_{G}*_{G}g, e_{H}*_{H}h) = (e_{G}, e_{H})*(g, h) = e_{G\times H} * (g, h)$

# 4. Tous les éléments admettent un inverse
$$
\begin{align}
\forall (g, h) \in G \times H, \quad (g, h) * (g^{-1}, h^{-1}) &= (g*_{G}g^{-1}, h*_{H}h^{-1}) \\
&= (e_{G}, e_{H}) = e_{G\times H} & \text{car } G \text{ et } H \text{ sont des groupes}\\
&= (g^{-1}*_{G}g, h^{-1}*_{H}h) \\
&= (g^{-1}, h^{-1}) * (g, h) & \text{car } G \text{ et } H \text{ sont des groupes}
\end{align}
$$