up:: [[tribu]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Proposition
> L'intersection de [[tribu|tribus]] sur $E$ est une [[tribu]] sur $E$

# Démonstration

Soit $(\mathcal{A_{i}})_{i \in I}$ une suite de tribus sur $E$
On pose $\displaystyle\mathcal{A} = \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$

1. contient l'ensemble vide
$\forall i \in I, \quad \emptyset \in \mathcal{A}_{i}$. Donc $\displaystyle\emptyset \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$. On a donc bien $\boxed{\emptyset \in \mathcal{A}}$
2. stable par complément
Soit $A \in \mathcal{A}$
$\forall i \in I, \quad A \in \mathcal{A_{i}}$
Or, comme tous les $\mathcal{A}_{i}$ sont des tribus :
$\forall i \in I, \quad A^{C} \in \mathcal{A}_{i}$ donc $A^{C} \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$
3. stable par intersection
même principe que le 2.