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up: "[[boule]]"
sibling: "[[boule fermée]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[boule ouverte]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]], on appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$ la partie $B(x_0, r)$ de $X$ définie par :
> $B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) < r \}$
^definition

> [!example] Exemple avec la [[distance euclidienne]]
> ![[boule ouverte 2024-09-09 10.28.55.excalidraw|300]]
^example

> [!idea] autres notations pour les boules ouvertes
> $B(x_0, r)$, $B_{r}(x_0)$, $B_{x_0}(r)$, $B^{o}_{r}(x_0)$

# Propriétés

> [!proposition]+ Toute boule ouverte est ouverte
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> $B(x_0, r) = \{ y\in X \mid d(x_0, x) < r\}$ est un ouvert de $X$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $x \in B(x_0, r)$
> > si $r_{x} = r - d(x_0, x) > 0$
> > on va voir que $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
> > En effet, si $y \in B(x, r_{x})$, on a :
> > $d(y, x) < r_{x}$
> > $d(y, x) < r-d(x_0, x)$
> > $d(x_0, x) + d(x, y) < r$
> > $d(x_0, y) < r$ par inégalité triangulaire
> > et donc $y \in B(x_0, r)$
> > On a bien montré $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
> 

> [!proposition]+ Diamètre
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Le [[diamètre]] d'une boule ouverte respecte :
> $\mathop{Diam}(B(p, r)) \leq 2r$

> [!proposition]+ conditions pour l'inclusion 
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soient $x_0, y_0 \in X$ et $r, r' \in \mathbb{R}^{+*}$
> On a :
> $B(x_0, r) \subset B(y_0, r')$ pour $r' \geq r + d(x_0, y_0)$

> [!proposition]+ Les boules ouvertes génèrent les ouverts
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Tout ouvert de $X$ est une réunion de boules ouvertes.
> Autrement dit :
> Pour tout $O \subset X$ ouvert,
> il existe $(p_{i}) \in X^{\mathbb{N}}$ et $(r_{i}) \in {\mathbb{R}^{+}}^{\mathbb{N}}$ tels que :
> $\displaystyle O = \bigcap _{i \in \mathbb{N}} B(p_{i}, r_{i})$
> 
# Exemples

- = Voir [[Exemples de boules]]