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up:
  - "[[application]]"
tags:
  - "#s/maths/analyse"
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> [!definition] [[application lipschitzienne]]
> Soit $f : (X, d) \to (Y, \delta)$ une [[application]]
> $f$ est dite **libschitzienne** si il existe $k \geq 0$ tel que :
> $\forall p, q \in X,\quad \delta(f(p), f(q)) \leq k \cdot d(p, q)$
^definition

> [!definition] Définition sur $\mathbb{R}$
> Soit $I \subset \mathbb{R}$ in [[intervalle]]
> Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$
> On dit que $f$ est **lipschitzienne** de *rapport* $k>0$ ssi
> pour tout $(x, y) \in I^{2}$ :
> $$|f(x)-f(y)| \leq k|x -y|$$
> 
^definition-sur-R


# Propriétés

- Une fonction lipschitzienne de *rapport* $k < 1$ est une [[fonction contractante]]
- Toutes les fonctions de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{1}$ sont globalement lipschitzienne