up:: [[application continue]], [[application linéaire]]
#s/maths/algèbre #s/maths/topologie 

> [!definition] [[application linéaire continue]]
> Une [[application linéaire]] qui est aussi [[application continue|continue]].
> On note $\mathcal{L}_{C}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires continue de $E \to F$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ continuité des applications linéaires
> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] normés
> Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire]], alors on une équivalence entre :
> 1. $f$ est continue
> 2. $f$ est continue en $0_{E}$
> 3. Il existe $C \geq 0$ tel que $\forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} \leq C\|x\|_{E}$
>     - I autrement dit, $\|f(\cdot)\|_{F} \leq C \|\cdot\|_{E}$ , c'est-à-dire que $f$ est inférieure (au sens des normes) à une fonction linéaire
> 
> $\text{1.} \iff \text{2.} \iff \text{3.}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - 1. $\implies$ 2.
> > évident : si $f$ continue en chaque point alors elle est continue, en particulier, en $0_{E}$
> > - 2. $\implies$ 3.
> > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la continuité de $f$ en $0_{E}$ :
> > $\exists \eta >0,\quad \forall x \in E,\quad d_{E}(x, 0_{E}) < \eta \implies d_{F}(f(x), f(0_{E})) <1$
> > c'est-à-dire $\forall x \in E,\quad \|x-0_{E}\|_{E} < \eta \implies \|f(x) - f(0_{E})\|_{F} < 1$
> > donc, finalement : $\forall x \in E,\quad \|x\|_{E}<\eta \implies \|f(x)\|_{F} < 1$
> > Soit $x \in E \setminus \{ 0 \}$ un vecteur quelconque
> > considérons $\tilde{x} = \frac{\eta x}{2 \|x\|_{E}}$
> > On a $\|f(\tilde{x})\|_{F} \leq 1$
> > autrement dit, comme $x = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot\tilde{x}$
> > $f(x) = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot f(\tilde{x})$
> > et donc $\|f(x)\|_{F} = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot \underbrace{\|f(\tilde{x})\|_{F}}_{\leq 1}$
> > $\|f(x)\|_{F} \leq \frac{2}{\eta}\|x\|_{E}$
> > cette inégalité reste vraie si $x = 0_{E}$
> > D'où là propriété 3. avec $C = \frac{2}{\eta}$
> > - 3. $\implies$ 1.
> > Soient $a \in E$ et $\varepsilon>0$
> > on a $\forall x \in E,\quad \|f(x) - f(a)\|_{F} \leq C \|x - a\|$
> > Donc, si $\eta = \frac{\varepsilon}{C}$ et si $d(x, a) = \|x-a\|_{E} < \eta$
> > $\begin{align} d(f(x), f(a)) &= \|f(x) - f(a)\|_{F} \\&\leq C \|x-a\|_{E} \\&< C\eta = C \frac{\varepsilon}{\eta} \\&< \varepsilon \end{align}$
> > Ce qui montre que $f$ est continue en $a$ pour tout $a \in E$
> 

![[espace vectoriel réel#^continuite-norme-infini]]


# Exemples

> [!example] Exemple d'application linéaire **non continue**
> Sur $E = \mathbb{R}[X]$ ([[ensemble des polynômes]])
> avec la norme $\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |P(x)|$
> Soit : $\begin{align} f: E &\to \mathbb{R}\\ P &\mapsto P'(1)  \end{align}$
> Alors, si $P = X^{n}$, $\displaystyle\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |x| = 1$
> Mais, $f(P) = P'(1) = n$
> $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} = \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{n}{1} = +\infty$
> et
> $\displaystyle\sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} \leq \sup_{\substack{P \in \mathbb{R}[X]\\ P \neq 0_{\mathbb{R}[X]}}} \frac{|f(P)|}{\|P\|} = |\!|\!|f|\!|\!|$
> 
> Donc $\not\exists C \geq 0,\quad \forall P \in \mathbb{R}[X],\quad |f(P)| \leq C \|P\|$
> et donc $f$ ne peut pas être continue
> Même si l'espace d'arrivée est de dimension finie, on peut avoir des applications linéaires non continue
>