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aliases:
  - converge
  - convergente
  - fonction convergente
up: "[[application]]"
sibling: "[[suite divergente]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
> Soit $f : (X, d) \to (Y, \delta)$ une [[application]]
> On dit que $f$ **converge** vers $\ell \in Y$ si et seulement si :
> $\forall \varepsilon>0,\quad \exists $
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $f : A \subset (X, d) \to (Y, \delta)$ une application
> Soient $a \in \overline{A}$ et $\ell \in Y$
> Alors :
> $\lim\limits_{ x \to a } f(x) = \ell \iff \forall (x_{n}) \in A^{\mathbb{N}},\quad \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = a \implies \lim\limits_{ n \to \infty }f(x_{n})=\ell$
> autrement dit : $f(x) \xrightarrow{x \to a}\ell \iff \forall (x_{n})\in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to +\infty}a \implies f(x_{n}) \xrightarrow{n \to +\infty} \ell$ 
> ou encore : $f$ converge vers $\ell$ en $a$ si et seulement si pour toute suite $x_{n}$ de $A$ qui converge vers $a$, la suite $f(x_{n})$ converge vers $\ell$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Supposons $\lim\limits_{ x \to a }f(x) = \ell$
> > Soit $(x_{n})$ une suite de $A$ telle que $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = a$
> > Soit $\varepsilon>0$, il existe $\eta>0$ tel que $\forall x \in A,\quad d(x, a)\leq\eta \implies d(f(x), \ell) \leq \varepsilon$
> > Comme $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = a$, il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $d(x_{n}, a)< \eta$ pour tout $n \geq n_0$
> > Ainsi, pour $n \geq n_0$, on a $d(f(x_{n}), \ell) \leq \varepsilon$, c'est-à-dire que $\lim\limits_{ n \to \infty }f(x_{n}) = \ell$
> > La caractérisation séquentielle est donc vraie
> > - Supposons que $\ell$ ne soit pas limite de $f$ en $a$
> > On a alors :
> > $\exists \varepsilon>0,\quad \forall \eta>0,\quad \exists x \in A,\quad d(x, a) \leq \eta \wedge d(f(x), \ell) > \varepsilon$
> > ainsi, en particulier, pour $\eta = \frac{1}{n}$ il existe $x_{n} \in A$ tel que $d(x_{n}, a)\leq \frac{1}{n}$ et $d(f(x_{n}), \ell) > \varepsilon$.
> > Donc $\lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = a$ et $(f(x_{n}))$ ne converge pas vers $\ell$.
> > Il existe donc une suite $(x_{n})$ de $A$ qui converge vers $a$ mais telle que $(f(x_{n}))$ ne converge pas vers $\ell$.
> > La caractérisation séquentielle est donc fausse


# Exemples