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aliases:
  - intègre
up:
  - "[[anneau]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> On dit que cet anneau est **intègre** si :
> $\forall a, b \in A,\quad a b = 0 \implies a = 0 \vee b = 0$
^definition

> [!idea] intuition
> Un anneau est **intègre** si il respecte :
> "un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul"

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soient $a, b, \in A$ tels que $ab = 0$
> si $a \neq 0$ alors $b = 0$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > si $ab = 0$ et $a \neq 0$ alors :
> > $a^{-1} a b = 0$ et donc $b = 0$

> [!proposition]+ 
> Soient $a, b, c \in A$
> On suppose $c \neq 0$, alors :
> $ac = bc \implies a = b$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $ac = bc \implies (a-b)c = 0 \implies a = b$ puisque $c \neq 0$

# Exemples