up::[[anneau]]
title::"$(A, +, \times)$ où", " - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]", " - $(A, \times)$ est un [[monoïde]] [[commutativité|commutatif]]", " - $\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$"
#s/maths/algèbre 

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Un _anneau commutatif_ est un [[anneau]] pour lequel la loi $\times$ est [[commutativité|commutative]]


> [!définition]
> Un ensemble $A$ muni des lois $+$ et $\times$ est un _anneau commutatif_ ssi :
>  - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
>      - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
>      - il y a un [[élément neutre]] pour $+$
>      - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
>  - $(A, \times)$ est un [[monoïde]] [[commutativité|commutatif]]
>      - $\times$ est [[associativité|associative]] et [[commutativité|commutative]]
>      - il y a un [[élément neutre]] pour $\times$
>  - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$


> [!definition] Définition - à partir d'un anneau
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> On dit que $(A, +, \times)$ est un **anneau commutatif** si la loi $\times$ est [[commutativité|commutative]]
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un anneau commutatif
> Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> $I$ [[idéal premier d'un anneau commutatif|premier]] $\iff$ $A /I$ [[anneau intègre|intègre]]
> 
> > [!info] En particulier
> > $\begin{align} \{ 0 \} \text{ est premier} &\iff A /\{ 0 \} \text{ est intègre} \\&\iff A \text{ est intègre}\end{align}$

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un anneau commutatif
> Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> $I$ [[idéal maximal d'un anneau commutatif|maximal]] $\iff$ $A /I$ est un [[corps]]

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un anneau commutatif
> Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
> $I$ [[idéal maximal d'un anneau commutatif|maximal]] $\implies$ $I$ [[nombre premier|premier]]
# Exemples