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aliases:
  - adhérence
  - fermeture
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up:: [[espace métrique]]
sibling:: [[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]
#s/maths/topologie 

> [!definition] [[adhérence d'un espace métrique]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$ une partie quelconque de $X$
> Alors il existe un unique plus petit fermé $\bar{A}$ parmi tous les fermés contenant $A$.
> $\bar{A}$ est appelé l'**adhérence** de $A$, ou bien **fermeture** de $A$ (de l'anglais "closure").
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Existance et unicité
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$
> $\bar{A}$ l'adhérence de $A$ existe et est unique.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\displaystyle\bar{A} = \bigcap _{\substack{F \text{ fermé de } X\\A \subset F}} F$
> > $\bar{A}$ est une partie fermée, et $\bar{A}$ est contenue dans chacun des $F$ fermés contenant $A$.
> > $\bar{A}$ est donc bien le plus petit fermé contenant $A$
> > Il y a au moins un $F$ fermé tel que $F \supset A$, car $F = X$ est un tel fermé

> [!proposition]+ Autre définition
> $\bar{A} = \left\{  l \in X \mid \exists (x_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} l \right\}$
>
>  ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]

> [!proposition]+ Lien avec l'[[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]
> Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
> - $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$ c'est-à-dire que $\mathring{A}$  est le complémentaire de l'intérieur de $X \setminus A$
> - $\bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}$
> 
> C'est un [[principe du parapluie|parapluie]] : $\mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement$ (car le complémentaire est sson propr inverse)

> [!proposition]+ Lien avec la [[partie fermée d'un espace métrique|fermeture]]
> $A$ est fermé $\iff$ $A = \bar{A}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $A = \bar{A}$, comme, par définition, $\bar{A}$ est une partie fermée, alors $A$ est fermée.
> > Inversement, si $A$ est fermée, $\bar{A}$ est le plus petit fermé qui contient $A$, donc $\bar{A} = A$


# Exemples