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aliases:
  - action
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up:: [[groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Définition
> Soit $G$ un groupe et $E$ un ensemble
> Une **action de groupe de $G$ sur $E$** est une application :
> $\begin{align} G \times X &\to X \\ (g, x) &\mapsto g \cdot x \end{align}$
> qui vérifie :
> 1. $\forall x \in X,\quad 1_{G} \cdot x = x$ (élément neutre)
> 2. $\forall (g, g') \in G,\quad \forall x \in X,\quad g' \cdot \underbrace{(g \cdot x)}_{\in X} = \underbrace{(g'g)}_{\in G} \cdot x$ (associativité)
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Morphisme associé
> Soit $\cdot$ une action du groupe $G$ sur $X$
> La donnée de $\cdot$ est équivalente à la donnée d'un morphisme de $G$ dans le [[Groupe des bijections]]
# Exemples