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aliases:
  - symétrique
  - symétrisable
  - symétrisables
  - inverse
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up::[[structure algébrique]]
title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[élément neutre]]"
#s/maths/algèbre

> [!definition] éléments inversibles
> Soit $E$ in ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] $*$, et contenant un [[élément neutre|élément neutre]] $e$.
> Un élément $a\in E$ est inversible ssi :
> $\exists a'\in E, a*a' = a'*a = e$
> On dit alors que $a'$ est le symétrique ou l'**inverse** de $a$
^definition

> [!definition] élément inversible à droite
> Dans $(E, *)$ avec $e \in E$ élément neutre
> Un élément $a \in E$ est dit **inversible à droite** quand :
> $\exists i \in E,\quad ai = e$
> On dit alors que $i$ est le symétrique à droite ou **inverse à droite** de $a$

> [!definition] élément inversible à gauche
> Dans $(E, *)$ avec $e \in E$ élément neutre
> Un élément $a \in E$ est dit **inversible à gauche** quand :
> $\exists i \in E,\quad ia = e$
> On dit alors que $i$ est la symétrique à gauche ou **inverse à gauche** de $a$

> [!info] Notation
> Si la loi est notée additivement, le symétrique de $a$ sera noté $-a$
> Si la loi est notée multiplicativement, le symétrique de $a$ sera noté $a^{-1}$

# Propriété
Si un élément $a\in E$ possède un symétrique $a'$, ce symétrique est unique.

## Démonstration
On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux symétriques $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$).
Alors :
 - $a*a' = e = a'*a$
 - $a*a'' = e = a''*a$
 - $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$
 - $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$
Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux symétriques.

Donc tout élément de $E$ possède au maximum un symétrique




# Propriété
On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un symétrique. La loi $*$ est supposée associative.
$x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$
$x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$
$\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$


Donc $x_2^{-1} * x_1{-1}$ est un symétrique à droite de $x_1*x_2$.

$\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$
$(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
(La symétrisation est distributive sur sa loi)