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voisinage.md

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+aliases:
+  - voisinages
+up:
+  - "[[structure de topologie|topologie]]"
+tags:
+  - s/maths/topologie
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+> [!definition] Définition
+> Soit $(E, \mathscr{T})$ un [[espace topologique]]
+> Soit $x \in E$ et $V \subset E$
+> On dit que $V$ est un **voisinage** de $x$ si et seulement si il existe un ouvert $O \in \mathscr{T}$ tel que $x \in O$ et $O \subset V$.
+> On note $\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$.
+^definition
+# Propriétés
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+> [!proposition]+ 
+> Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
+> Si $V \in \mathcal{V}(x)$ alors $x \in V$
+> ---
+> Tout voisinage de $x$ contient $x$
+
+> [!proposition]+ 
+> Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
+> Toute partie de $E$ qui contient un voisinage de $x$ est un voisinage de $x$
+> 
+> ---
+> $\forall U, V \in \mathscr{P}(E),\quad (U \in \mathcal{V}(x) \wedge U \subset V) \implies V \in \mathcal{V}(x)$
+
+> [!proposition]+ Stabilité par intersection finie
+> Toute intersection **finie** de voisinages de $x$ est un voisinage de $x$
+> 
+> ---
+> $\forall U, V \in \mathcal{V},\quad U \cap V \in \mathcal{V}(x)$
+
+> [!proposition]+ Voisinages dans $\mathbb{R}$
+> Dans $\mathbb{R}$ muni des ouverts de $\mathbb{R}$
+> Les parties $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ne sont voisinage d'aucun de leurs points.
+
+# Exemples
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