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variable aléatoire réelle.md

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+aliases:
+  - variables aléatoires réelles
+---
 up:: [[variable aléatoire]]
 title:: "application de $\Omega \to \mathbb{R}$"
 #s/maths/probabilités 
- 
+
 > [!definition] Variable aléatoire réelle
-> Soit $(\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)$ un [[espace probabilisé]]
-> 
-> Une variable aléatoire réelle est une [[application]] de $\Omega \to \mathbb{R}$.
+> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
+> Une **variable aléatoire réelle** (v.a.r.) est une application
+> $X : \Omega \to \mathbb{R}$  mesurable de $\mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathbb{R})$
+> c'est-à-dire :
+> $\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad X^{-1}(B)\in \mathcal{A}$
 ^definition
 
+> [!info] Notation
+> Si $B \in \mathcal{B(\mathbb{R})}$
+> $\{ X \in B \} = X^{-1}(B) = \{ w \in \Omega \mid X(\omega) \in B \}$
+> 
+> --- 
+> $\mathbb{P}(X = 3)= \mathbb{P}(\{ X = 3 \}) = \mathbb{P}(X^{-1}(\{ 3 \}))$
+
 > [!definition] Explication
-> Soit $(\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)$ un [[espace probabilisé]]
+> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
 > Soit $X : \Omega \to \mathbb{R}$ une **variable aléatoire réelle**
 > 
-> Soit $\mathcal{A} \subset X(\Omega)$ un ensemble de "*résultats possibles*"
-> On cherche "*la probabilité des événements qui induisent $\mathcal{A}$*" : 
-> $P(X ^{-1}(\mathcal{A})) = P(X(\omega \in \mathcal{A})) = P(X \in \mathcal{A})$
+> Soit $\mathcal{B} \subset X(\Omega)$ un ensemble de "*résultats possibles*"
+> On cherche "*la probabilité des événements qui induisent $\mathcal{B}$*" : 
+> $\mathbb{P}(X ^{-1}(\mathcal{B})) = \mathbb{P}(X(\omega \in \mathcal{B})) = \mathbb{P}(X \in \mathcal{B})$
+
+```breadcrumbs
+title: "Sous-notes"
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