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théorème de schwarz.md

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+  - "[[différentielle]]"
+tags:
+  - s/maths/analyse
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+> [!proposition]+ [[théorème de schwarz]]
+> Soit $\Omega \subset E$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]]
+> Soit $f : \Omega \subset E\to F$ [[différentielle seconde|deux fois différentiable]] en $x \in \Omega$
+> Alors l'application $\mathrm{d}^{2}f(x)$ est symétrique, càd :
+> $\forall h, k \in E,\quad \mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \mathrm{d}^{2}f(x)(k, h)$
+
+> [!info] En particulier sur $\mathbb{R}^{n}$
+> Si $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ alors :
+> Si $f$ est deux fois différentiable en $x \in \Omega$, pour tous $i, j$ on a :
+> $\displaystyle \frac{ \partial^{2} f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }(x) = \frac{ \partial^{2} f }{ \partial x_{j} \partial x_{i} }(x)$
+> 
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