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théorème de d'Alembert-Gauss.md

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+sr-due: 2022-10-25
+sr-interval: 3
+sr-ease: 250
+up:
+  - "[[polynôme]]"
+author:
+  - "[[Jean le Rond d'Alembert]]"
+  - "[[Carl Friedrich Gauss]]"
+tags:
+  - "#s/maths/analyse/complexes"
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+Aussi appelé _Théorème fondamental de l'algèbre_, du nom de [[Jean le Rond d'Alembert]] et de [[Carl Friedrich Gauss]].
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+# Énoncés
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+ - Tout [[polynôme]] non constant, à coefficients [[nombre complexe|complexes]], admet au moins une [[racine]] [[nombre complexe|complexe]]
+ - Tout polynôme non constant à coefficients réels admet au moins une racine complexe.
+ - Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont exactement les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 à [[discriminant]] strictement négatif.
+ - Les polynômes de $\mathbb{C}[X]$ sont tous [[polynôme scindé|scindés]]
+ - Le [[corps]] $\mathbb C$ est [[corps algébriquement clos|algébriquement clos]]
+ - Tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ avec $\operatorname{deg}P \geq 1$ admet au moins une [[racines d'un polynôme|racine]]
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