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théorème de Bézout pour les polynômes.md

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+aliases: 
+up:
+  - "[[division euclidienne de polynômes|division de polynômes]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+> [!proposition]+ Théorème de Bézout
+> Soit $K$ un [[corps]]
+> Soient $P, Q \in K[X]$
+> Alors :
+> $\operatorname{PGCD}(P, Q) = 1 \iff \exists A, B \in K[X],\quad AP + BQ = 1$
+
+> [!démonstration] Démonstration
+> - $\impliedby$
+> Soit $D = \operatorname{PGCD}(P, Q)$
+> $D\mid P$ et $D \mid Q$ donc $D \mid 1$
+> d'où suit que $\operatorname{deg}D \leq \operatorname{deg} 1 = 0$
+> Et comme $D$ est unitaire : $D = 1$
+