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suite convergente.md

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 alias: ["converge", "convergence"]
+up: "[[suite]]"
+tags: "#s/maths/analyse"
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-up::[[suite]]
-#s/maths/analyse
 
-> [!definition] [[suite convergente]]
+> [!definition] [[suite convergente]] dans un [[espace métrique]]
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
 > Soit $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$
 > Soit $l \in X$
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 > $\forall \varepsilon >0, \quad \exists n_0 \in N, \quad \forall n \geq n_0, \quad d(u_{n}, l) < \varepsilon$
 ^definition
 
-> [!definition] [[suite convergente]] sur $\mathbb{R}$
+> [!definition] [[suite convergente]] dans un [[espace topologique]]
+> Soit $(E, \mathscr{T})$ un [[espace topologique]]
+> Soit $(u_{n}) \in E^{\mathbb{N}}$
+> $(u_{n})$ **converge vers** $l \in E$ $\iff$ $\forall V \in \mathcal{V}(l),\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad u_{n} \in V$
+> 
+> ---
+> $(u_{n})$ converge vers $l$ si et seulement si, pour tout voisinage $V$ de $l$, la suite $(u_{n})$ reste dans $V$ après un certain rang $N$
+
+> [!definition]- [[suite convergente]] sur $\mathbb{R}$
 > Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ une [[suite]] réelle
 > On dit que $(u_{n})$ _converge vers $l \in \mathbb{R}$_ si :
 > $\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq n_{0}, \quad |u_{n} - l| \leq \varepsilon$
@@ -42,7 +50,7 @@ up::[[suite]]
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
 > Si $(u_{n})_{n}$ est une suite convergente d'éléments de $X$, alors sa limite $\lim\limits_{ n \to \infty }(u_{n})$ est unique.
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > Soient $l, l' \in X$ tels que $U_{n} \xrightarrow{+\infty} l$ et $u_{n} \xrightarrow{+\infty} l'$
+> > Soient $l, l' \in X$ tels que $u_{n} \xrightarrow{+\infty} l$ et $u_{n} \xrightarrow{+\infty} l'$
 > > Soit $\varepsilon >0$. Comme $(u_{n})$ converge vers $l$, il existe un range $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N, \quad d(u_{n}, l) < \dfrac{\varepsilon}{2}$
 > > De même, il existe un rang $N' \in N$ tel que $\forall n \geq N', \quad d(u_{n}, l') < \dfrac{\varepsilon}{2}$
 > > Si $m = \max(N, N')$, on a alors :