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probabilités variable aléatoire fonction de répartition.md

@@ -16,3 +16,19 @@ title:: "$\begin{align} F:\,& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto P(X \leq x)
 # Propriétés
 
  - $\forall (a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \quad a \leq b, \quad P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
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+> [!proposition]+ Toute fonction de répartition est continue
+> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]]  de [[probabilité à densité|densité]] $f$
+> $F_{X}$ est continue en tout point $t \in \mathbb{R}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Pour tout $t \in \mathbb{R}$ 
+> > $F_{X} = \mathbb{P}_{X}(]-\infty, t]) = \int_{-\infty}^{t} f(x) \, dx$ 
+> > qui est continue en $t$
+> >  - ! $F_{X}$ continue $\centernot{\implies}$ $X$ [[probabilité à densité|à densité]] sur $\mathbb{R}$
+> > 
+> > > [!example] Contre-exemple de la réciproque
+> > > ![[probabilités variable aléatoire fonction de répartition 2025-02-03 10.40.37.excalidraw]]
+> > > Cette fonction est continue et pourtant n'est la répartition d'aucune variable aléatoire réelle.
+> > > En effet, elle est dérivable $\lambda$-presque partout (dérivable sauf en un nombre dénombrable de points), et sa dérivée est toujours nulle.
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