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probabilité à densité.md

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+aliases:
+  - mesure de probabilité à densité
+  - densité
+  - à densité
+up:
+  - "[[mesure de probabilité]]"
+  - "[[densité de probabilité]]"
+tags:
+  - s/maths/probabilités
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Si $f$ est une [[densité de probabilité]]
+> L'application : 
+> $\begin{align} \mathbb{P} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) &\to [0; 1] \\ A &\mapsto \mathbb{P(A)} = \int_{A} f \, d\lambda \end{align}$
+> est une [[mesure de probabilité]]
+> On dit alors que $\mathbb{P}$ est une **probabilité à densité $f$**
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $f$ est positive, donc :
+> > si $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ alors $\displaystyle 0 \leq \int_{A} f \, d\lambda \leq \int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda = 1$
+> > Alors on a bien :
+> > - $\mathbb{P}$ est positive
+> > - $\displaystyle \mathbb{P}(\mathbb{R}) = \int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda = 1$
+> > 
+> > Ensuite, si $(A_{i})_{i \geq 0} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$ deux à deux disjoints :
+> > $\begin{align} \mathbb{P}\left(  \bigcup _{i \geq 0} A_{i} \right) &= \int_{\bigcup\limits_{i \geq 0} A_{i}} f \, d\lambda \\&= \sum\limits_{i \geq 0} \int_{A_{i}} f \, d\lambda \\&= \sum\limits_{i\geq 0} \mathbb{P}(A_{i}) \end{align}$
+> > Donc on a bien :
+> >  - $\displaystyle \mathbb{P}\left(  \bigcup _{i\geq 0}A_{i} \right) = \sum\limits_{i\geq 0} \mathbb{P}(A_{i})$ si les $A_{i}$ sont des [[tribu borélienne|boréliens]] disjoints
+> >    
+> > Ainsi, $\mathbb{P}$ respecte bien les 3 propriétés, donc $\mathbb{P}$ est bien une [[mesure de probabilité]].
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $\mathbb{P}$ une probabilité à densité $f$
+> 1. $\mathbb{P}([a; b]) = \mathbb{P}(]a; b]) = \mathbb{P}(]a; b[) = \mathbb{P}([a; b[) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
+> 2. .
+> 3. si $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ alors $\lambda(A) = 0 \implies \mathbb{P}(A) = 0$
+
+> [!proposition]+ densités égales presques partout
+> Soit $f$ une densité de probabilité
+> Si $g = f$ $\lambda$-pp alors $g$ est une [[densité de probabilité]] et la probabilité de densité $g$ est la même que celle de densité $f$
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $X$ une [[variable aléatoire réelle]] de densité $f$ (et $F_{X}$ sa [[probabilités variable aléatoire fonction de répartition|fonction de répartition]])
+> Soit $t_0 \in \mathbb{R}$
+> Si $f$ est continue en $t_0$,
+> Alors $F_{X}$ est dérivable en $t_0$ et $F_{X}'(t_0) = f(t_0)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $t_0 \in \mathbb{R}$ tel que $f$ est continue en $t_0$
+> > Soit $h>0$
+> > $\begin{align} \left| \frac{F_{X}(t_0+h) - F_{X}(t_0)}{h} - f(t_0) \right| &= \left| \frac{1}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} f(x) \, dx - \frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}f(t_0) \, dx \right| \\&\leq \frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h} \left| f(x)-f(t_0) \right| \, dx \end{align}$
+> > or $f$ est continue en $t_0$
+> > donc pour $\varepsilon>0$ fixé, il existe $\delta>0$ tel que :
+> > $|x-t_0| \leq \delta \implies |f(x) - f(t_0)| \leq \varepsilon$
+> > 
+> > Alors pour $0 <h \leq \delta$ on obtient :
+> > $\displaystyle \left| \frac{F_{X}(t_0+h) - F_{X}(t_0)}{h} - f(t_0) \right| \leq \frac{1}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} \varepsilon \, dx = \varepsilon$
+> > d'où suit que :
+> > $\lim\limits_{\substack{h \to 0\\h > 0}} \dfrac{F_{X}(t_0+h) F_{X}(t_0)}{h} = f(t_0)$
+> > On obtient la limite à gauche de la même manière.
+
+# Exemples
+
+$f(x) = C e^{ -2x } \mathbb{1}_{[0; +\infty[}(x)$ avec $C \geq 0$
+$f$ est positive
+in veut $\int_{\mathbb{R}}f \, d\lambda = 1$
+i.e. $C \int_0^{+\infty} e^{ -2x } \, dx = 1$
+i.e. $\displaystyle C \cdot \left[ \frac{-e^{ -2x }}{2} \right]_{0}^{+\infty} = 1$
+i.e. $C \frac{1}{2} = 1$
+i.e. $C = 2$
+d'où $f(x) = 2e^{ -2x } \mathbb{1}_{[0; +\infty[}(x)$
+
+```desmos-graph
+grid=false;
+left=-1; right=3;
+top=3; bottom=-1;
+width=300;height=300;
+---
+y=2e^{-2x}\{x>=0\} | red
+y=0 \{x<0\} | red
+(0, 2) | red
+0<y<2e^{-2x}\{x>=0\} | red
+```
+