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polynômes associés.md

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+aliases:
+  - associé
+  - associés
+up:
+  - "[[polynôme]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $A$ un [[anneau]]
+> Soient $P, Q \in A[X]$ deux [[polynôme|polynômes]]
+> On dit que $P$ et $Q$ sont **associés** si :
+> $\boxed{\exists a \in A^{*},\quad P = aQ}$
+> (où $A^{*}$ est l'[[ensemble des éléments inversibles d'un anneau|ensemble des éléments inversibles]] de $A$)
+^definition
+
+> [!idea] intuition
+> Deux polynômes sont associés si ils sont liés par un facteur qui est aussi un inversible (dans son anneau)
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ 
+> La relation "être associé" est une [[relation d'équivalence]]
+
+> [!proposition]+ 
+> Un polynôme $P \neq 0$ est associé à un unique [[polynôme unitaire]]
+
+# Exemples
+
+> [!example] Dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}[X]$
+> Soient $P = \overline{5}X + \overline{3}$ et $Q = -X + \overline{5}$
+> alors $P$ et $Q$ sont associés car :
+> $\overline{4} P = Q$ (et car $\overline{4}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$)
+>