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morphisme d'anneaux.md

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+aliases: 
+up:
+  - "[[morphisme]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+> [!definition] Définition
+> Soient $A$ et $B$ deux [[anneau|anneaux]]
+> $f : A \to B$ est un **morphisme d'anneaux** si :
+> - $\forall a, b \in A,\quad \begin{cases} f(a+b) = f(a) + f(b)\\ f(ab) = f(a)f(b) \end{cases}$
+> - $f(1_{A}) = 1_{B}$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $f: A \to B$ un morphisme d'anneaux
+> $J$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $B \implies f^{-1}(J) \text{ idéal de } A$
+> $I$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A \implies f(I) \text{ idéal de } B$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - Supposons $J$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $B$
+> > Alors $f^{-1}(J) < (A, +)$
+> > Soient $i \in f^{-1}(J)$ et $a \in A$
+> > $f(ai) = \underbrace{f(a)}_{\in B} \underbrace{f(i)}_{\in J}$
+> > $ai \in f^{-1}(J)$
+> > donc c'est un idéal 
+> > 
+> >  - Supposons $I$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
+> > $f(I) < B$
+> > Soit $j \in f(I)$ 
+> > $\exists i \in I,\quad j = f(i)$ 
+> > $\vdots$
+> 
+> > [!corollaire]+ Le noyau est un idéal
+> > Soit $f : A \to B$ un morphisme d'anneaux
+> > Alors $\ker f$ le [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] de $f$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]]
+> > 
+> > > [!proposition]- Cas particulier sur $\mathbb{Z}$
+> > > Soit $(A, +, \cdot)$ un [[anneau]]
+> > > Soit $f : \mathbb{Z} \to A$ un morphisme donné par :
+> > > $\begin{cases} f(1) = 1_{A} \\ f(n) = n \times 1_{A} \end{cases}$
+> > > 
+> > > > [!example] Exemple 1
+> > > > $A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
+> > > > $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ p &\mapsto \overline{p} \end{align}$
+> > > > alors $\ker f = n\mathbb{Z}$ et donc $\mathrm{Car}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n$
+> > >
+> > > > [!example] Exemple 2
+> > > > $A = \mathbb{R}$
+
+> [!proposition]+ L'image est un sous anneau
+> Soit $f : A \to B$ un morphisme d'anneaux
+> $\operatorname{Im}f$ est un [[sous anneau]] de $B$
+
+
+# Exemples
+