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matrice hessienne.md

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-#s/maths/analyse 
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+  - "[[fonction de plusieurs variables]]"
+tags: "#s/maths/analyse"
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 > [!definition] matrice hessienne
 > Soit une fonction $\begin{align} f :\;& \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\&(x_1, x_2, \dots ,x_{n}) \mapsto f(x_1,\dots,x_{n}) \end{align}$
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 # Propriétés
 - [[déterminant hessien]]
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ un ouvert
+> Soit $f : \Omega \to F$ [[différentielle seconde|deux fois différentiable]] en $x \in \Omega$
+> $\forall h, k \in \mathbb{R}^{n}$ on a :
+> $\mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \,^T\!h \cdot \operatorname{Hess}f(x) \cdot k = \left\langle h, \operatorname{Hess}(f) \cdot k\right\rangle$
+> Et d'après le [[théorème de schwarz]] on sait que $\operatorname{Hess}f$ est [[matrice symétrique|symétrique]], et donc que :
+> $\mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \left< h \cdot \operatorname{Hess}(f), k \right>$