update

lois de Poisson.md

@@ -0,0 +1,36 @@
+---
+aliases: 
+up:
+  - "[[loi de probabilités discrète]]"
+tags:
+  - s/maths/probabilités
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$ ($\lambda \geq 0$)
+> Une [[variable aléatoire réelle]] suit une **loi géométrique** de paramètre $\lambda$ si :
+> $\boxed{\mathbb{P}_{X} = \sum\limits_{k \geq 0}e^{ -\lambda } \frac{\lambda^{k}}{k!} \delta _{k}}$
+> On note alors $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ 
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Additivité
+> Si $X \sim \mathcal{P}(\lambda),\quad \lambda\geq 0$
+> et $Y \sim \mathcal{P}(\mu),\quad \mu\geq 0$
+> Et $X$ et $Y$ sont indépendantes
+> Alors $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > soit $k \in \mathbb{N}$
+> > $P(X + Y < k) = ?$
+> > $\{ \{ Y = l \} \mid l \in \mathbb{N}\}$ forme un [[système complet d'événements]], donc par la formule des probabilités totales :
+> > $\begin{align} \mathbb{P}(X + Y = k) &= \sum\limits_{l \geq 0}\mathbb{P}(X+Y = k \text{ et } Y = l) \\&= \sum\limits_{l \geq 0} \mathbb{P}(X=k-l \text{ et } Y = l) \\&= \sum\limits_{l=0}^{k} \mathbb{P}(X = k-l)\mathbb{P}(Y = l) & \text{car } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes} \\&= \sum\limits_{l=0}^{k} \left( e^{ -\lambda } \frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!} \cdot e^{ \mu  }  \frac{\mu^{l}}{l!}  \right) \\&= \frac{e^{ -(\lambda+\mu) }}{k!} \sum\limits_{l=0}^{k} \binom{k}{l} \mu^{l}\lambda^{k-l} \\&= e^{ -(\lambda+\mu) } \frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k!} & \text{par le binôme de Newton} \end{align}$
+> > D'où il appert que $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$
+
+> [!proposition]+ [[espérance]]
+> Soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ pour $\lambda \geq 0$
+> On a : $\boxed{\mathbb{E}(X) = \lambda}$
+
+# Exemples
+