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isomorphisme d'anneaux.md

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+aliases: 
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+  - "[[isomorphisme]]"
+  - "[[morphisme d'anneaux]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
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+> [!definition] Définition
+> 
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Premier théorème d'isomorphisme
+> Soient $A, B$ deux [[anneau|anneaux]]
+> Soit $f : A \to B$ un [[morphisme d'anneaux]]
+> Alors :
+> $\begin{align} \tilde{f} : A / \ker f &\to \operatorname{Im}f \\ \overline{x} &\mapsto f(x) \end{align}$
+> est un isomorphisme d'anneaux
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On sait que $\tilde{f}$ est un [[morphisme de groupes]] additifs
+> >  - $\tilde{f}$ est bien défini (cela est manifeste)
+> >  - $\tilde{f}$ est un [[morphisme d'anneaux]]
+> > $\tilde{f}(1_{A}) = 1_{B}$
+> > $\tilde{f}(x+y) = \tilde{f}(x)+\tilde{f}(y)$
+> > $\tilde{f(\overline{xy})} = \tilde{f}(\overline{x})\tilde{f}(\overline{y})$ quels que soient $\overline{x}, \overline{y} \in A /I$
+> >  - $\tilde{f}$ est bijective
+
+# Exemples
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