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idéaux d'un anneau.md

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+aliases:
+  - idéaux
+  - idéal
+up:
+  - "[[anneau]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
+> $I \subset A$ est un **idéal de $A$** si :
+> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
+> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad \begin{cases} a\cdot i \in I\\ i \cdot a \in I \end{cases}$
+^definition
+
+> [!definition] Définition - idéal à gauche
+> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
+> $I \subset A$ est un **idéal à droite de $A$** si :
+> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
+> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad a \cdot i \in I$
+^definition-a-gauche
+
+> [!definition] Définition - idéal à droite
+> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
+> $I \subset A$ est un **idéal à droite de $A$** si :
+> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
+> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad i \cdot a \in I$
+^definition-a-droite
+
+```breadcrumbs
+title: "Sous-notes"
+type: tree
+collapse: false
+show-attributes: [field]
+field-groups: [downs]
+depth: [0, 0]
+```
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $I$ idéal d'un anneau $A$
+> Supposons qu'il existe $p \in I$ tel que $p$ est inversible dans $A$
+> alors $I = A$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $I$ idéal de $A$
+> > Soit $p \in I$ inversible dans $A$
+> > Alors :
+> > $\forall a \in A$
+> > $a = \underbracket{a p ^{-1}}_{\in A} \underbracket{p}_{ \in I}$
+> > or $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] donc $a \in I$
+> > Ainsi $I \subset A$, or on a $A \subset I$ par définition, donc :
+> > $I = A$
+
+> [!proposition]+ union et somme d'idéaux
+> Soient $I$ et $J$ des idéaux d'un [[anneau]] $A$
+> Alors :
+>  - $I \cap J$ est un idéal de $A$
+>  - $I + J$ est un idéal de $A$
+>  - ! $A \cup J$ **n'est pas** un idéal de $A$
+
+![[corps#^ideaux-dun-corps]]
+
+# Exemples
+