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famille de tribus indépendantes.md

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+aliases: 
+up:
+  - "[[tribu]]"
+  - "[[probabilité conditionnelle]]"
+tags:
+  - s/maths/probabilités
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+> [!definition] Définition
+> Dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
+> Soit $(\mathcal{A}_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-tribus de $\mathcal{A}$
+> On dit que c'est une **famille de tribus indépendantes** si :
+> Pour tout $J \subset I$ fini
+> Pour tout $A_{j} \in \mathcal{A}_{j}$ pour tout $j \in J$
+> $\mathbb{P}\left( \bigcap _{j \in J}A_{j} \right) = \prod\limits_{j \in J}\mathbb{P}(A_{j})$
+^definition
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+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ 
+> Si $(A_{i})_{i \in I} \subset \mathcal{A}$ sont indépendantes
+> Si $I_1\subset I$ et $I_2\subset I$ avec $I_1$ et $I_2$ disjoints
+> Alors :
+> $\sigma(\{ A_{i} \mid i \in I_1 \})$ et $\sigma(\{ A_{i} \mid i \in I_2 \})$ sont indépendantes
+
+# Exemples
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