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espace métrique connexe.md

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+aliases:
+  - connexe
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 up:: [[espace métrique]]
 #s/maths/algèbre 
 
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 # Propriétés
 
+> [!proposition]+ Définitions alternatives
+> On a équivalence entre les proposition suivantes :
+> - $A$ est connexe
+> - $A$ ne **s'écrit pas** comme la réunion disjointe de deux ouverts non vides
+> - $A$ ne **s'écrit pas** comme la réunion disjointe de deux fermés non vides
+> - les seules parties à la fois fermées et ouvertes de $A$ sont $\emptyset$ et $A$
+> - toute [[application continue]] $f : A \to \{ 0, 1 \}$ est constante
+
+> [!proposition]+ les fonctions continues préservent la connexité
+> L'image d'un connexe par une [[application continue|fonction continue]] est un connexe.
+
+> [!proposition]+ Théorème de passage à la douane
+> Dans un espace topologique $X$
+> Soit $A \subset X$
+> Toute partie $C$ connexe qui rencontre à la fois $A$ et son complémentaire rencontre nécessiarement la [[frontière d'une partie d'un espace métrique|frontière]] de $A$
+> Autrement dit :
+> $\forall C \subset X,\quad ((C\cap A \neq \emptyset) \wedge C \cap (A^{\complement} \neq 0)) \implies C \cap \partial A$
 # Exemples
 
 > [!example] $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas connexe