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ensemble des polynômes.md

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-up::[[polynôme]]
-#s/maths/algèbre #s/maths/analyse
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+up: "[[polynôme]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
+  - "#s/maths/analyse"
+---
 
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-Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
-On note $\mathbf{K}[X]$ l'ensemble des [[polynôme|polynômes]] sur $K$
-(quelquefois on note aussi $\mathbf{K}[\mathbb{X}]$)
+> [!definition] Définition
+> Soit $A$ un anneau
+> L'ensemble des [[polynôme|polynômes]] sur $A$ est noté $A[X]$ (parfois aussi noté $A[\mathbb{X}]$)
+^definition
+
+> [!definition] Lois sur les polynômes
+> Soit $A$ un anneau
+> Soient $P, Q \in A[X]$ deux polynômes
+> Soient $m, n \in \mathbb{N}$ tels que $\begin{cases} a_{k} = 0 \text{ si } k \geq n + 1 \\ b_{k} = 0 \text{ si } k \geq m+1 \end{cases}$
+> On définit les deux [[loi de composition interne|lois de composition internes]] suivantes :
+> 1. $P + Q = \sum\limits_{k = 0}^{\max(m, n)}(a_{k}+b_{k})X^{k}$
+> 2. $P\cdot Q = \sum\limits_{k = 0}^{m +n} C_{k}X^{k}$ avec $C_{k} = \sum\limits_{l = 0}^{k}a_{l}b_{k -l}$
+> 
+
+```breadcrumbs
+title: "Sous-notes"
+type: tree
+collapse: false
+show-attributes: [field]
+field-groups: [downs]
+depth: [0, 0]
+```
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Les polynômes sur un anneau forment un anneau commutatif
+> Soit $A$ un [[anneau]]
+> $(A[X], +, \cdot)$ est un [[anneau commutatif]]
+> 
+> De plus, l'application :
+> $\begin{align} \varphi : A &\to A[X] \\ a &\mapsto (a, 0, 0, 0, \dots) \end{align}$
+> est un [[morphisme]] [[injection|injectif]]
+> - i il pourra arriver qu'on note $A \subset A[X]$ les polynôme de degré $\leq 0$
+^ensemble-des-polynomes-anneau-commutatif
+
+> [!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un espace vectoriel
+> Soit $K$ un [[corps]]
+> $(K[X], +, \cdot)$ est un $K$-[[espace vectoriel]]
+
+> [!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un anneau principal
+> Soit $K$ un [[corps]]
+> alors $K[X]$ est [[idéal principal|principal]]
+> De plus, tout idéal $\neq \{ 0 \}$ est engendré par un unique [[polynôme unitaire]]
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On suppose $I \neq \{ 0 \}$
+> > Notons $n = \min \{ \operatorname{deg} P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \}$
+> > Soit $P \in I$ de degré $n$
+> > Montrons que $I = (P) = P\cdot K[X]$
+> > $P \in I$ par définiton, et il est donc évident que $(P) \subset I$
+> > Montrons que $I \subset (P)$
+> > Soit $Q \in I$
+> > $P \neq 0$ on peut faire la [[division euclidienne de polynômes]]
+> > ainsi $\exists! (A, B) \in K[X],\quad Q = AP +B \text{ où } \operatorname{deg}B < \operatorname{deg}P$
+> > $B = \underbracket{Q}_{\in I} - A \underbracket{P}_{\in I} \in I$ car $I$ est [[idéaux d'un anneau|idéal]]
+> > On a donc construit $B \in I$ tel que $\operatorname{deg}B < n = \min \{ \operatorname{deg}P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \}$ 
+> > Ainsi $B = 0$ et donc :
+> > $Q = AP \in P K[X] = (P)$
+> > Donc on a bien $Q \in (P)$ d'où suit que $I \subset (P)$
+> > 
+> > Comme on a montré que $(P) \subset I$ et $I \subset (P)$, on sait que $I = (P)$
+> > 
+> > ---
+> > $P \neq 0$ donc son [[coefficient dominant d'un polynôme|coefficient dominant]] est $\neq 0$
+> > Posons $P_{0} = \alpha ^{-1}P$ [[polynôme unitaire|unitaire]]
+> > Montrons que $(P_0) = (P)$
+> > $P_0 = \alpha ^{-1}P \in K[X]P$
+> > donc $P_0 \in (P)$ et donc $(P_0) \subset (P)$
+> > Réciproquement $P = \alpha P_0 \in (P_0) \implies (P) \subset (P_0)$
+> > Donc on a bien $(P_0) = (P)$
+> > 
+> > On a montré que $I$ est engendré par un [[polynôme unitaire]] $P_0$
+> > Montrons que ce polynôme est unique.
+> > Soit $Q$ [[polynôme unitaire|unitaire]] tel que $I = (Q)$
+> > $P_0 \mid Q$ et $Q\mid P_0$ donc $P_0 = Q$
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $A$ un [[anneau intègre]]
+> Soit $P \in A[X]$ [[polynôme irréductible|irréductible]] avec $P \neq 0$
+> On a équivalence entre les propositions :
+> 1. $P$ est non inversible
+> 2. $P = RS \implies R \text{ ou } S \text{ inversible}$
 
 # Exemples
  - $\mathbb{R}[X]$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{R}$
  - $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{C}$
 
-# Propriétés
- - quelque soit $K$ un [[corps]], $K[X]$ forme un [[espace vectoriel]]